INTERPOLACIÓN DE HERMITE INTEGRANTES: ARIANA PAZ CIRILO LADY DIANA ARELLANO AGUILAR

Interpolación de Hermite Sean x0 ,x1,….,xn y n+1 números distintos en [a,b] y mi un entero no negativo asociado a xi para i=0,1, …, n. Supóngase que f ϵ 𝐶 𝑚 [a,b] y que m=max0<=i<=n mi. El polinomio osculante que aproxima f es el polinomio P(x) de menor grado tal que

Interpolación de Hermite Cuando n=0 el polinomio osculante que aproxima f es el polinomio de Taylor m0-esimo para f en x0. Cuando mi =0 para cada i, el polinomio osculante es el polinomio de Lagrange de grado n que interpola f en x0,x1,….,xn . Cuando mi =1 para cada i=0,1,….,n Se produce una clase de polinomio denominado polinomio de Hermite.

Interpolación de Hermite En una función dada f, estos últimos concuerdan con f en x0 ,x1,….,xn. Como sus primeras derivadas concuerdan con las de f tendrán la misma forma que la función en (xi, f(xi)), en el sentido de que las líneas tangentes al polinomio coinciden con la función.

Polinomio de Hermite Si f ϵ 𝐶 1 [a,b] y si x0 ,x1,….,xn ϵ [a,b] son distintos, el polinomio único de menor grado que concuerda con f y f’ en x0 ,x1,….,xn es el polinomio de Hermite de grado a lo mas 2n+1 que esta dado por

Polinomio de Hermite Dentro de este contexto Ln,j(x) denota el j-esimo polinomio de Lagrange de grado n. Si f ϵ 𝐶 2𝑛+2 [a,b] entonces para x ϵ [a,b]

Algoritmo de Hermite ENTRADA Los números x0 ,x1,….,xn; valores f(x0) ,…,f(xn) y f’(x0)….f’(xn) SALIDA los números Q 0,0 ,Q 1,1,…,Q 2n+1,2n+1 donde H(x)= Q 0,0 + Q 1,1 (x- x0 )+Q 2,2 (x- x0)^2+ Q 3,3 (x- x0)^2 (x- x1 )+Q 4,4 (x- x0)^2 (x- x1 )^2+…+Q 2,n+1,2n+1 (x- x0)^2 (x- x1 )^2…..(x- xn-1 )^2(x-xn) Paso 1: Para i=0,1,…,n haga paso 2 y3 paso 2 Sea z2i =xi z2i+1 =xi Q2i,0= f(xi) Q2i+1,0= f(xi) Q2i+1,1= f’(xi) paso 3 Si i ≠ 0 entonces tome Q2i,1= Q2i,0-Q2i-1,0 / z2 - z2i-1 Paso 4 Para i=2,3,…,2n+1 para j=2,2,….i tomar Qi,j= Qi,j-1-Qi-1,j-1 / zi - zi-j Paso 5 Salida (Q0,0 , Q1,1,…..,Q2n+1,2n+1) pare

Ejemplo Utiliza el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la siguiente tabla para obtener una aproximación de f(1.5)

Paso 1 Calcule el polinomio de Lagrange y sus derivadas

Paso 2. Desarrolle el polinomio de Hermite y su derivado

Programa en Matlab de Interpolación de Hermite X=input('Ingrese los valores de x='); % en forma de vector Y=input('Ingrese los valores de f(x)='); % en forma de vector DF=input('Ingrese los valores de la derivada de f(x)='); % en forma de vector x=input(‘Ingrese el valor a interpolar’ = ); n=length(X); Q=zeros(2,n); for i=1:n z(2*i-1)=X(i); z(2*i)=X(i); Q(2*i-1,1)=Y(i); Q(2*i,1)=Y(i); Q(2*i,2)=DF(i); if i~=1 Q(2*i-1,2)=(Q(2*i-1,1)-Q(2*i-2,1))/(z(2*i-1)-z(2*i-2)); end for i=3:2*n for j=3:i Q(i,j)=(Q(i,j-1)-Q(i-1,j-1))/(z(i)-z(i-j+1));

syms x Fx=Q(1,1); %Diferencias divididas for p=1:numel(X)-1 L=1; %Multiplicación de los polinomios for k=1:p L=L*(x-X(k)); end Fx=Fx+L*Q(p+1,p+1); %Aproximacion del Polinomio resultante val=eval(Fx); disp(val);