2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso

ÍNDICE 1) Introducción 2) Sistemas de ecuaciones 3) Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenius 4) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 5) Sistemas homogéneos 6) Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales

Introducción a) Igualdades 1. Identidades numéricas y algebráicas 2. Ecuaciones b) Ecuaciones lineales 1. Definición 2. Observaciones: solución, resolver, comprobar, equivalencia

1 - Introducción a) Igualdades  Identidades numéricas  Identidades algebraicas  Ecuaciones

1 - Introducción b) Ecuaciones lineales  Definición  Observaciones:  Solución: “conjunto de valores para cada incógnita”  Resolver: “encontrar TODAS las soluciones”  Comprobar: “sustituir unos valores y ver si verifican”  Ecuaciones equivalentes: “tienen las mismas soluciones”

Sistemas de ecuaciones a) Definiciones y observación b) Notación matricial y vectorial c) Clasificación d) Sistemas equivalentes

2.a - Definiciones y observación I. Sistema de ecuaciones lineales II. Solución del sistema

2.a - Definiciones y observación III. Observaciones:  Resolver: “encontrar TODAS las soluciones”  Comprobar: “sustituir una posible solución y ver si verifica TODAS las ecuaciones”  Discutir: “ calcular el número de soluciones”  Sistemas equivalentes: “tienen las mismas soluciones”

2.b – Notación matricial Llamando: El sistema original puede escribirse o bien simbólicamente

2.b – Notación matricial Concepto fundamental: MATRIZ AMPLIADA

2.b – Notación vectorial Llamando: Es decir… El sistema original puede escribirse o bien simbólicamente es combinación lineal de

2.c – Clasificación de sistemas I. Según los términos independientes:  Homogéneos: Todos los términos independientes nulos  No homogéneos: Algún término independiente no nulo II. Según el número de soluciones:  Incompatibles: Ninguna solución (S.I.)  Compatibles: Alguna solución  Determinados: UNA única solución (S.C.D.)  Indeterminados: Infinitas soluciones (S.C.I.)

2.d – Sistemas equivalentes I. Definición: Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones Tienen que tener el mismo número de incógnitas pero pueden tener distinto número de ecuaciones II. Operaciones:

2.d – Sistemas equivalentes Ejemplo

Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenius a) Enunciado del teorema b) Consecuencias c) Ejemplos

3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius  Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.  DEMOSTRACIÓN: a) Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A

3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius  Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.  DEMOSTRACIÓN: a) Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A

3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius  Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.  DEMOSTRACIÓN: a) Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A b) Segundo Como B depende linealmente de las columnas de A, existen coeficientes que son la solución del sistema

3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius  Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.  DEMOSTRACIÓN: a) Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A b) Segundo Como B depende linealmente de las columnas de A, existen coeficientes que son la solución del sistema

3.b – Consecuencias  Si Además si n es el número de incógnitas a) Si b) Si

a)Sientonces S.C.D. b)Si c)Si 3.c – Discusión de un sistema Ejemplo

b)Si c)Si 3.c – Discusión de un sistema Ejemplo

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales a) Método de Gauss b) Método de resolución matricial c) Método de Cramer

4.a – Método de Gauss  Generalización del método de reducción usado en sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas  PROCESO: ○ Tomar la matriz ampliada ○ Convertirla en escalonada con operaciones elementales que den sistemas equivalentes ○ Clasificar el sistema equivalente resultante ○ Resolver el sistema equivalente resultante

4.a – Método de Gauss ○ Clasificar el sistema resultante Incompatible: si alguna ecuación es del tipo Compatible determinado: si nº filas no nulas = nº de incógnitas Compatible indeterminado: si nº filas no nulas < nº de incógnitas ○ Resolver el sistema resultante Compatible determinado: Por sustitución desde la última ecuación hacia las anteriores Compatible indeterminado: Pasando al segundo miembro como parámetros las incógnitas que superan el número de ecuaciones y resolviendo como S.C.D.

4.a – Método de Gauss Ejemplo 1

4.a – Método de Gauss Ejemplo 2

4.b – Método matricial  Sólo sirve para sistemas “cuadrados”, es decir, con n ecuaciones y n incógnitas, en los que exista A -1  PROCESO: ○ Escribir el sistema en forma matricial ○ Despejar la matriz de las incógnitas ○ Calcular A -1, siempre que ○ Obtener la matriz solución

4.b – Método matricial ○ Escribir el sistema en forma matricial ○ Calcular A -1, siempre que ○ Obtener la matriz solución

4.b – Método matricial Ejemplo

4.c – Método de Cramer  Un sistema es de Cramer si: ○ Nº de ecuaciones = nº incógnitas ○ Determinante de la matriz de los coeficientes no es nulo  SOLUCIÓN: ○ Por definición es S.C.D. ○ Cálculo: “El valor de cada incógnita es el cociente de dividir el determinante formado por la matriz de los coeficientes sustituyendo en ella la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita buscada por la columna de los términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes”

4.c – Método de Cramer es de Cramer si y llamando Podemos escribirentonces… SOLUCIÓN: (es ¡única!)

4.c – Método de Cramer Ejemplo es de Cramer porque SOLUCIÓN:

Sistemas homogéneos a) Definición b) Ejemplo

5.b – Sistemas homogéneos ○ Todos los términos independientes nulos ○ Como siempre se cumpleson S.C. ○ Casos posibles: r = n = nº de incógnitas el sistema es S.C.D. y la única solución se denomina solución trivial: r < n = nº de incógnitas el sistema es S.C.I. con infinitas soluciones en función de n-r parámetros.

5.b – Sistemas homogéneos Ejemplo - discusión Por tanto Estudiamos los rangos de A y A* Teniendo en cuenta las filas y columnas del menor que hemos usado para determinar el rango, el sistema y su matriz quedan…

5.b – Sistemas homogéneos Ejemplo - resolución A estas incógnitas se les asigna un parámetro Pasamos al 2º miembro las incógnitas que no estén en el menor usado para el rango Ahora se puede resolver el sistema como si fuese compatible determinado. Por Gauss, matricialmente o por el método de Cramer. En este caso, directamente O de forma equivalente, haciendo

Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales a) Sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (dos rectas en el plano) b) Sistemas de 2 ecuaciones y 3 incógnitas (dos planos en el espacio) c) Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (tres planos en el espacio)

6 – Interpretación geométrica Ya conocemos del curso anterior que Se corresponde con una recta en el plano Ahora, debemos saber que Se corresponde con un plano en el espacio

6.a – Sistemas 2 ecuaciones y 2 incógnitas Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de las dos rectas en el plano Dos ecuaciones con dos incógnitas equivalen a dos rectas en el plano

6.b – Sistemas 2 ecuaciones y 3 incógnitas Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los dos planos en el espacio Dos ecuaciones con tres incógnitas equivalen a dos planos en el espacio

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son