UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Sistemas de ecuaciones. Tipos. Interpretación geométrica. Sistemas escalonados. Método de Gauss Sistemas homogéneos. Discusión de sistemas dependientes de uno o varios parámetros.

1. Sistemas de ecuaciones. Tipos Dado un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas (nxm) de la forma: atendiendo al número de soluciones que tiene , el sistema puede ser: Compatible determinado: Cuando tiene una solución. Compatible indeterminado: Cuando tiene infinitas soluciones, éstas vienen dadas en función de un parámetro. Incompatible: Cuando no tiene ninguna solución.

Interpretación geométrica. Cada ecuación con dos incógnitas se puede interpretar como una recta en el plano. Así que cuando resolvemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas buscamos puntos de corte entre varias rectas del plano. Cada ecuación con tres incógnitas se puede interpretar como un plano en el espacio. Así que cuando resolvemos un sistema de ecuaciones con tres incógnitas estamos buscando puntos de corte entre planos.

Este sistema se puede interpretar como tres rectas en el plano que se cortan en un punto: Sistema compatible determinado cuya solución es x=3, y=1

Este sistema se puede interpretar como dos planos en el espacio que se cortan a lo largo de un recta: El sistema es compatible indeterminado, su solución: z=2, y=λ, x=- λ+1

Sistemas escalonados. Método de Gauss Un sistema escalonado se puede resolver directamente: Con el método de Gauss, realizando ciertas operaciones en el sistema, lo iremos transformarlo sucesivamente en sistemas equivalentes a él hasta llegar a uno que sea escalonado, y lo podamos resolver, si se puede, directamente.

Podemos realizar las siguientes operaciones elementales: Multiplicar una ecuación por un número. Sumarle a una ecuación una combinación lineal de otra. Además simplificamos el proceso si prescindimos de las letras y trabajamos con los coeficientes en una “caja” (matriz), en la que separamos los términos independientes con una línea:

Realizando convenientemente las operaciones anteriores, vamos transformando cierto coeficientes en cero hasta llegar al escalonado: Ahora recuperamos las incógnitas y podemos resolver el sistema escalonado que nos queda: 3y=-3, y=-1 y-3z=5, z=-2 x+1-2=0, x=1 El sistema es compatible determinado. Tres planos que se cortan en un punto P(1,-1,2)

El sistema es incompatible ¡0=-5! Por tanto no tiene solución. Se trata de tres planos en el espacio que no tienen ningún puto en común

La tercera ecuación se puede eliminar por que es combinación lineal de las otras dos. El sistema es C. indeterminado y para hallar la solución debemos tomar un parámetro. Se trata de tres planos que coinciden a lo largo de una recta: x=1- λ, y=2- λ, z= λ De la 2ª · y+z=2 z=λ y=2- λ De la 1ª ·x+2- λ+2 λ=3 x=3- λ-2 x=1- λ

3. Sistemas homogéneos Un sistema es homogéneo cuando los términos independientes de todas sus ecuaciones son nulos: b1=b2=…=bn=0. Un sistema homogéneo siempre es compatible, por que siempre va a tener la llamada “solución trivial” en la que todas las incógnitas toman el valor cero: x1=x2=…xm=0. - Si es compatible determinado, u única solución será la trivial. - Si es compatible determinado, sus infinitas soluciones vendrán dadas en función de un parámetro e incluirán a la solución trivial.

Es compatible determinado, y por tanto su única solución será la solución trivial: x=0, y=0, z=0 Es compatible indeterminado, su solución viene dada por un parámetro: z=λ, y=λ, x=0 Observa que ésta solución incluye a la trivial cuando al parámetro le asignamos el valor cero.

4. Discusión de sistemas. Cuando uno o varios de los coeficientes dependen de un parámetro. Se trata de ver para qué valores del parámetro el sistema es compatible determinado, para cuáles es compatible indeterminado y para cuales es incompatible. Si k=2 es compatible determinado. Si k≠2 es compatible determinado, ya que podremos despejar el valor de las tres incógnitas sin problemas de división por cero.