Introducción a Funciones de una variable Mini-video 5 de 5 Materia: Optimización de funciones Representación gráfica de funciones Prácticas con

Introducción a Funciones de una variable Optimización de funciones de una variable  Cuando hablamos de optimizar una función nos estamos refiriendo a la obtención de los máximos y mínimos de dicha función; para ello, haremos uso de la primera derivada, la cual nos indica cuándo la función es creciente, decreciente, o se anula; entre los puntos donde se anula tendremos los óptimos. Además, con el estudio del signo de la segunda derivada, veremos cuándo la función es cóncava, convexa, y por consiguiente, cuando el punto es máximo o mínimo. Con todo esto, conoceremos la forma de la curva y la podremos representar fácilmente, como veremos en el siguiente epígrafe.  

Introducción a Funciones de una variable Optimización de funciones de una variable  Cuando hablamos de optimizar una función nos estamos refiriendo a la obtención de los máximos y mínimos de dicha función; para ello, haremos uso de la primera derivada, la cual nos indica cuándo la función es creciente, decreciente, o se anula; entre los puntos donde se anula tendremos los óptimos. Además, con el estudio del signo de la segunda derivada, veremos cuándo la función es cóncava, convexa, y por consiguiente, cuando el punto es máximo o mínimo. Con todo esto, conoceremos la forma de la curva y la podremos representar fácilmente, como veremos en el siguiente epígrafe.   Todo este estudio es de fundamental interés en Economía, pues maximizar los beneficios de una empresa, minimizar los costes de fabricación, etc., suelen ser objetivos claros de problemas dentro de este contexto.

Introducción a Funciones de una variable Empezamos pues con el estudio del crecimiento y la convexidad de una función.  

Introducción a Funciones de una variable Empezamos pues con el estudio del crecimiento y la convexidad de una función.   Definición. Sea y sea un punto x* de D, con D abierto y Entonces: Si F’(x*) > 0 entonces F es creciente en x* Si F’(x*) < 0 entonces F es decreciente en x*

Introducción a Funciones de una variable Empezamos pues con el estudio del crecimiento y la convexidad de una función.   Definición. Sea y sea un punto x* de D, con D abierto y Entonces: Si F’(x*) > 0 entonces F es creciente en x* Si F’(x*) < 0 entonces F es decreciente en x* En los puntos donde la primera derivada se anula tenemos los llamados puntos críticos, que nos llevarán a la obtención de los óptimos como veremos seguidamente.

Introducción a Funciones de una variable Empezamos pues con el estudio del crecimiento y la convexidad de una función.   Definición. Sea y sea un punto x* de D, con D abierto y Entonces: Si F’(x*) > 0 entonces F es creciente en x* Si F’(x*) < 0 entonces F es decreciente en x* En los puntos donde la primera derivada se anula tenemos los llamados puntos críticos, que nos llevarán a la obtención de los óptimos como veremos seguidamente. Ejemplo. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función: F(x) = 5x3 + 3x

Introducción a Funciones de una variable Solución: Hemos de Calcular la primera derivada y estudiar cuándo es positiva y cuándo negativa:   F’(x) = 15x2 + 3

Introducción a Funciones de una variable Solución: Hemos de Calcular la primera derivada y estudiar cuándo es positiva y cuándo negativa:   F’(x) = 15x2 + 3 Esta función es positiva para cualquier valor de x, lo que nos indica que la función F(x) es creciente en todo su dominio, como podemos observar en su gráfica:

Introducción a Funciones de una variable Respecto a la concavidad o convexidad de una función en un punto, las funciones pueden ser de cuatro tipos: cóncavas, convexas, cóncavas y convexas (únicamente las funciones lineales) y ni cóncavas ni convexas.

Introducción a Funciones de una variable Respecto a la concavidad o convexidad de una función en un punto, las funciones pueden ser de cuatro tipos: cóncavas, convexas, cóncavas y convexas (únicamente las funciones lineales) y ni cóncavas ni convexas. El siguiente ejemplo con Mathematica presenta cuatro funciones, cada uno de ellas de un tipo: f(x) = x: ejemplo de cóncava y convexa g(x) = x2: ejemplo de función convexa d(x) = -x2: ejemplo de función cóncava h(x) = x3: ejemplo de función ni cóncava ni convexa

Introducción a Funciones de una variable Definición: Sea y sea un punto x* de D, con D abierto y Entonces:  

Introducción a Funciones de una variable Definición: Sea y sea un punto x* de D, con D abierto y Entonces:   En los puntos donde la segunda derivada se anule, no sabríamos en principio qué ocurre. Hemos de estudiar el signo en un entorno del punto en cuestión (con valores cercanos a dicho punto) y si resulta positivo, la función será convexa y si es negativo, es cóncava. Si en el estudio del entorno se produce un cambio de signo, diremos que la función es ni cóncava ni convexa.

Introducción a Funciones de una variable Definición: Sea y sea un punto x* de D, con D abierto y Entonces:   En los puntos donde la segunda derivada se anule, no sabríamos en principio qué ocurre. Hemos de estudiar el signo en un entorno del punto en cuestión (con valores cercanos a dicho punto) y si resulta positivo, la función será convexa y si es negativo, es cóncava. Si en el estudio del entorno se produce un cambio de signo, diremos que la función es ni cóncava ni convexa. Ejemplo: Estudiar la convexidad de las funciones F(x) = x4 y G(x) = x5 Solución

Introducción a Funciones de una variable Para estudiar la convexidad de una función en un punto, hemos de calcular su segunda derivada y observar el signo que toma en dicho punto.

Introducción a Funciones de una variable Para estudiar la convexidad de una función en un punto, hemos de calcular su segunda derivada y observar el signo que toma en dicho punto. Así, para la primera función:   Como la segunda derivada es cero, nos vemos obligados a estudiar la posible concavidad o convexidad de la función en un entorno del punto.

Introducción a Funciones de una variable Para estudiar la convexidad de una función en un punto, hemos de calcular su segunda derivada y observar el signo que toma en dicho punto. Así, para la primera función:   Como la segunda derivada es cero, nos vemos obligados a estudiar la posible concavidad o convexidad de la función en un entorno del punto. Pero obsérvese que para cualquier punto “a” que no sea cero: F’’(a) = 12 a2 > 0 Con lo que resulta que F(x) es convexa en x=0 (de hecho, es convexa en todo punto de la recta real).

Introducción a Funciones de una variable Para estudiar la convexidad de una función en un punto, hemos de calcular su segunda derivada y observar el signo que toma en dicho punto. Así, para la primera función:   Como la segunda derivada es cero, nos vemos obligados a estudiar la posible concavidad o convexidad de la función en un entorno del punto. Pero obsérvese que para cualquier punto “a” que no sea cero: F’’(a) = 12 a2 > 0 Con lo que resulta que F(x) es convexa en x=0 (de hecho, es convexa en todo punto de la recta real). Para la segunda función hacemos lo mismo:

Introducción a Funciones de una variable Procedemos de forma análoga al caso anterior y observamos que G’’(a) que vale 20 a3, puede tomar cualquier signo según que “a” sea positivo o negativo.  

Introducción a Funciones de una variable Procedemos de forma análoga al caso anterior y observamos que G’’(a) que vale 20 a3, puede tomar cualquier signo según que “a” sea positivo o negativo.   Con ello resulta que G(x) es “ni cóncava ni convexa” en el punto x=0.

Introducción a Funciones de una variable Procedemos de forma análoga al caso anterior y observamos que G’’(a) que vale 20 a3, puede tomar cualquier signo según que “a” sea positivo o negativo.   Con ello resulta que G(x) es “ni cóncava ni convexa” en el punto x=0. Definición: Sea y x* un punto de D. Entonces:

Introducción a Funciones de una variable Procedemos de forma análoga al caso anterior y observamos que G’’(a) que vale 20 a3, puede tomar cualquier signo según que “a” sea positivo o negativo.   Con ello resulta que G(x) es “ni cóncava ni convexa” en el punto x=0. Definición: Sea y x* un punto de D. Entonces: En los casos en los que la desigualdad sea estricta, el óptimo (máximo ó mínimo) se denomina estricto.

Introducción a Funciones de una variable Para la obtención de los óptimos de una función, procedemos con ayuda de los dos siguientes teoremas.  

Introducción a Funciones de una variable Para la obtención de los óptimos de una función, procedemos con ayuda de los dos siguientes teoremas.   Teorema 1 Sea F(x) definida en D abierto y sea Si x* en D es un punto óptimo (máximo o mínimo) de F en D, entonces: F’ (x*) = 0.

Introducción a Funciones de una variable Para la obtención de los óptimos de una función, procedemos con ayuda de los dos siguientes teoremas.   Teorema 1 Sea F(x) definida en D abierto y sea Si x* en D es un punto óptimo (máximo o mínimo) de F en D, entonces: F’ (x*) = 0. A los puntos de D que verifiquen F’(x)=0 se les llama puntos críticos ó puntos candidatos a óptimo.

Introducción a Funciones de una variable Para la obtención de los óptimos de una función, procedemos con ayuda de los dos siguientes teoremas.   Teorema 1 Sea F(x) definida en D abierto y sea Si x* en D es un punto óptimo (máximo o mínimo) de F en D, entonces: F’ (x*) = 0. A los puntos de D que verifiquen F’(x)=0 se les llama puntos críticos ó puntos candidatos a óptimo. Teorema 2 Sea F(x) definida en D abierto, con Sea x* de D un punto candidato a óptimo, entonces: Si F es cóncava en x* entonces x* es un máximo local de F en D Si F es convexa en x* entonces x* es un mínimo local de F en D

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Determinar los puntos óptimos de la función F(x)=x3-x2-8x+12

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Determinar los puntos óptimos de la función F(x)=x3-x2-8x+12 Solución: a) Obtengamos los puntos candidatos a óptimo, para lo cual hemos de calcular su primera derivada y resolver la ecuación que resulta de igualarla a cero: F’(x) = 0 es decir: 3x2-2x-8 = 0 Ecuación con dos soluciones: -3,2. Ello quiere decir que los puntos x=-3, x=2 son los candidatos a óptimo.

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Determinar los puntos óptimos de la función F(x)=x3-x2-8x+12 Solución: a) Obtengamos los puntos candidatos a óptimo, para lo cual hemos de calcular su primera derivada y resolver la ecuación que resulta de igualarla a cero: F’(x) = 0 es decir: 3x2-2x-8 = 0 Ecuación con dos soluciones: -3,2. Ello quiere decir que los puntos x=-3, x=2 son los candidatos a óptimo. b) Para cada punto candidato a óptimo vemos si la concavidad o la convexidad de F(x) en ellos, para lo cual hemos de calcular la derivada segunda de la función en cada punto: F’’(x) = 6x-2 En x=-3: F’’(-3) =-20 <0 luego F(x) es en x=-3 cóncava y x=-3 es un máximo local.

Introducción a Funciones de una variable En x=2: F’’(2) =10>0 luego F(x) es en x=2 convexa y x=2 es un mínimo local.

Introducción a Funciones de una variable En x=2: F’’(2) =10>0 luego F(x) es en x=2 convexa y x=2 es un mínimo local. Si vemos la gráfica de F(x) en [-4,4] podemos comprobar lo calculado:

Introducción a Funciones de una variable Definición. Un punto candidato a óptimo que no es máximo ni mínimo se denomina punto de inflexión.  

Introducción a Funciones de una variable Definición. Un punto candidato a óptimo que no es máximo ni mínimo se denomina punto de inflexión.   Ejemplo: Calcular los posibles puntos óptimos de la función: Solución:

Introducción a Funciones de una variable Definición. Un punto candidato a óptimo que no es máximo ni mínimo se denomina punto de inflexión.   Ejemplo: Calcular los posibles puntos óptimos de la función: Solución: Los puntos candidatos a óptimo (resultantes de igualar a cero su primera derivada) son: Calculamos la segunda derivada en cada punto:

Introducción a Funciones de una variable Luego en hay un mínimo local y en hay un máximo local.

Introducción a Funciones de una variable Luego en hay un mínimo local y en hay un máximo local. Ahora bien, en el punto x=0 no podemos afirmar nada, de tal forma que nos vemos obligados a estudiar la función en puntos cercanos a él. Veamos esto como se hace: donde “a” es un punto cercano a cero.

Introducción a Funciones de una variable Luego en hay un mínimo local y en hay un máximo local. Ahora bien, en el punto x=0 no podemos afirmar nada, de tal forma que nos vemos obligados a estudiar la función en puntos cercanos a él. Veamos esto como se hace: donde “a” es un punto cercano a cero. Como el valor de la función en el punto x=0 es cero, hemos evaluado la función en un punto “cercano” a él, al cual hemos llamado “a”. El valor de la función en dicho punto nos sale un cociente, cuyo denominador es siempre positivo, pero el numerador será positivo si a >0 o negativo si a<0. Por lo tanto el punto no es ni máximo ni mínimo y por ello es punto de inflexión.

Introducción a Funciones de una variable Con la gráfica de la función podemos corroborar lo anterior:

Introducción a Funciones de una variable Representación gráfica de funciones  Terminamos esta lección con la representación gráfica de una función. Para ello, hemos de seguir una serie de pasos que nos ayudarán a conocer la forma de dicha gráfica, si bien en este aspecto no vamos a ser demasiado exhaustivos, siendo el objetivo de este epígrafe el obtener una visión global de la gráfica que nos ayude al conocimiento de la función y a estudiar su comportamiento. Recordaremos como se hallan los puntos de corte con los ejes de coordenadas, obtención de asíntotas, si existen, y lo completaremos con el estudio del crecimiento y la convexidad vistos en el apartado anterior.  

Introducción a Funciones de una variable Representación gráfica de funciones  Terminamos esta lección con la representación gráfica de una función. Para ello, hemos de seguir una serie de pasos que nos ayudarán a conocer la forma de dicha gráfica, si bien en este aspecto no vamos a ser demasiado exhaustivos, siendo el objetivo de este epígrafe el obtener una visión global de la gráfica que nos ayude al conocimiento de la función y a estudiar su comportamiento. Recordaremos como se hallan los puntos de corte con los ejes de coordenadas, obtención de asíntotas, si existen, y lo completaremos con el estudio del crecimiento y la convexidad vistos en el apartado anterior.   Suele ser conveniente empezar por la obtención de los puntos de corte con los ejes. Así, para el eje OX, obtenemos las raíces de la ecuación: F(x) = 0 

Introducción a Funciones de una variable Para el eje OY, hacemos x= 0, es decir, obtenemos F(0).

Introducción a Funciones de una variable Para el eje OY, hacemos x= 0, es decir, obtenemos F(0). Ejemplo Dada la función F(x) = x3 - x calcular los puntos en los que corta a los ejes de coordenadas. Solución:

Introducción a Funciones de una variable Para el eje OY, hacemos x= 0, es decir, obtenemos F(0). Ejemplo Dada la función F(x) = x3 - x calcular los puntos en los que corta a los ejes de coordenadas. Solución: Primero, para calcular los puntos en los que corta al eje de abscisas se obtienen haciendo y = 0, esto es: x3 - x = 0 de donde obtenemos –1, 0, 1.  

Introducción a Funciones de una variable Para el eje OY, hacemos x= 0, es decir, obtenemos F(0). Ejemplo Dada la función F(x) = x3 - x calcular los puntos en los que corta a los ejes de coordenadas. Solución: Primero, para calcular los puntos en los que corta al eje de abscisas se obtienen haciendo y = 0, esto es: x3 - x = 0 de donde obtenemos –1, 0, 1.   Por otra parte, con el eje de ordenadas, cuando x=0 resulta y=0, es decir, el punto (0, 0).

Introducción a Funciones de una variable Para el eje OY, hacemos x= 0, es decir, obtenemos F(0). Ejemplo Dada la función F(x) = x3 - x calcular los puntos en los que corta a los ejes de coordenadas. Solución: Primero, para calcular los puntos en los que corta al eje de abscisas se obtienen haciendo y = 0, esto es: x3 - x = 0 de donde obtenemos –1, 0, 1.   Por otra parte, con el eje de ordenadas, cuando x=0 resulta y=0, es decir, el punto (0, 0). Si observamos la gráfica de F podemos comprobar lo calculado hasta ahora:

Introducción a Funciones de una variable   Vemos que estamos ante una función representada por un polinomio que corta al eje de abscisas en los puntos –1, 0, 1. En los intervalos (-infinito, -1) y (0,1) toma valores negativos, tomando valores positivos en los restantes puntos del eje de abscisas.

Introducción a Funciones de una variable Definición: Se denomina asíntota vertical a una recta de la forma x=a para la cual se verifica que:   Con ello, estamos estudiando cuándo la función toma valores infinitos para valores finitos de la variable x.

Introducción a Funciones de una variable Definición: Se denomina asíntota vertical a una recta de la forma x=a para la cual se verifica que:   Con ello, estamos estudiando cuándo la función toma valores infinitos para valores finitos de la variable x. Ejemplo Calcular las asíntotas verticales de la función: Solución:

Introducción a Funciones de una variable Definición: Se denomina asíntota vertical a una recta de la forma x=a para la cual se verifica que:   Con ello, estamos estudiando cuándo la función toma valores infinitos para valores finitos de la variable x. Ejemplo Calcular las asíntotas verticales de la función: Solución: Evidentemente, la función tenderá a infinito para aquellos valores que anulen al denominador; si realizamos la representación gráfica de la función podremos observar lo anterior con gran claridad:

Introducción a Funciones de una variable  

Introducción a Funciones de una variable   Si determinamos las raíces del denominador obtenemos que son 1 y -1. Los límites correspondientes:

Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto ya tenemos las asíntotas buscadas: x=-1 x=1.

Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto ya tenemos las asíntotas buscadas: x=-1 x=1. Si dibujamos estas asíntotas sobre la gráfica anterior:

Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto ya tenemos las asíntotas buscadas: x=-1 x=1. Si dibujamos estas asíntotas sobre la gráfica anterior: NOTA: Obsérvese que ambas asíntotas son de distinta forma, ya que en la primera (x = -1) la función por su izquierda tiene signo distinto a la función por su derecha; ello es debido a que -1 es raíz de orden de multiplicidad impar (se repite una vez) del denominador de la función. En la asíntota de la derecha (x = 1) la función tiene el mismo signo a ambos lados; ello es debido a que 1 es raíz de orden de multiplicidad par (se repite dos veces).

Introducción a Funciones de una variable Definición: Si existe cualquiera de los límites: diremos que la recta y = a es una asíntota horizontal de la función F(x).

Introducción a Funciones de una variable Definición: Si existe cualquiera de los límites: diremos que la recta y = a es una asíntota horizontal de la función F(x). Ejemplo: Determinar, si existe, una asíntota horizontal de la función: Solución:

Introducción a Funciones de una variable Definición: Si existe cualquiera de los límites: diremos que la recta y = a es una asíntota horizontal de la función F(x). Ejemplo: Determinar, si existe, una asíntota horizontal de la función: Solución: Calculamos:

Introducción a Funciones de una variable Luego y=1 es asíntota horizontal de la función, cuya representación gráfica es:

Introducción a Funciones de una variable Luego y=1 es asíntota horizontal de la función, cuya representación gráfica es: La asíntota horizontal es, por tanto, la recta y=1. Observemos que cuando x se hace muy grande (x tiende a infinito), el valor de la función tiende a 1. Lo mismo ocurre cuando x se hace muy pequeño (tiende a menos infinito)

Introducción a Funciones de una variable  

Introducción a Funciones de una variable Para completar el estudio debemos calcular dónde la función es creciente o decreciente y su convexidad, lo cual nos da una idea bastante concisa de la gráfica de la función:  

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Realizar un estudio gráfico de la función:   Solución.

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Realizar un estudio gráfico de la función:   Solución. 1) Cortes con el eje OX: F(x) = 0, lo cual nos lleva a: x2 - 1 = 0 es decir: x = 1, x= -1

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Realizar un estudio gráfico de la función:   Solución. 1) Cortes con el eje OX: F(x) = 0, lo cual nos lleva a: x2 - 1 = 0 es decir: x = 1, x= -1 2) Cortes con el eje OY: F(0) =-1, luego corta en el punto (0, -1).

Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Realizar un estudio gráfico de la función:   Solución. 1) Cortes con el eje OX: F(x) = 0, lo cual nos lleva a: x2 - 1 = 0 es decir: x = 1, x= -1 2) Cortes con el eje OY: F(0) =-1, luego corta en el punto (0, -1). 3) Asíntotas: -Asíntotas verticales no tiene pues el denominador nunca se anula. -Asíntotas horizontales: se han calculado antes resultando y = 1.

Introducción a Funciones de una variable 4) Crecimiento de la función. Calculamos su primera derivada y vemos cuando es positiva, negativa o nula:   Esta expresión se hace cero para x = 0. Puesto que el denominador es siempre positivo, concluimos que: F’(x) es es negativa en (-inf, 0), y aquí F(x) es decreciente. F’(x) es positiva en (0, inf), y aquí F(x) es creciente.

Introducción a Funciones de una variable 4) Crecimiento de la función. Calculamos su primera derivada y vemos cuando es positiva, negativa o nula:   Esta expresión se hace cero para x = 0. Puesto que el denominador es siempre positivo, concluimos que: F’(x) es es negativa en (-inf, 0), y aquí F(x) es decreciente. F’(x) es positiva en (0, inf), y aquí F(x) es creciente. Por otra parte, x = 0, es punto crítico de la función.

Introducción a Funciones de una variable 4) Crecimiento de la función. Calculamos su primera derivada y vemos cuando es positiva, negativa o nula:   Esta expresión se hace cero para x = 0. Puesto que el denominador es siempre positivo, concluimos que: F’(x) es es negativa en (-inf, 0), y aquí F(x) es decreciente. F’(x) es positiva en (0, inf), y aquí F(x) es creciente. Por otra parte, x = 0, es punto crítico de la función. 5) Convexidad de la función. Calculamos su segunda derivada y vemos cuando es positiva o negativa:

Introducción a Funciones de una variable El denominador es siempre positivo, por lo que el signo depende del numerador. Este se anula cuando:

Introducción a Funciones de una variable El denominador es siempre positivo, por lo que el signo depende del numerador. Este se anula cuando: Por lo que concluimos que:

Introducción a Funciones de una variable Por otra parte, para el punto x = 0, la segunda derivada es positiva, por lo que podemos afirmar que es mínimo local del problema. Todo lo que hemos afirmado se puede verificar en la gráfica de la función, que mostramos anteriormente.