Resolución de Triángulos esféricos rectángulos Tema 4

4.1. Caso 1: Se conoce la hipotenusa a y un cateto b . Cálculo de c : Por medio de Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c) → cos a = cos b cos c. c < 90º si cos a/cos b =(+) ; c > 90º si ( X) =(-) Cálculo de B : Por medio de Neper : cos (90º - b) = sin a sin B → sin b = sin a sin B. B está en el mismo cuadrante que b (pues según la propiedad 2 ángulo y lado opuesto son de la misma especie).

Cálculo de C : Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b) Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: b = 158º 22’ 04” a = 122º 36’ 07” Solución: → C = 75º 18’ 25” → B = 154º 02’ 59” → c = 54º 34’ 59”

Forma de operar con la calculadora: Partiendo de 0.25363 → → 75.30712 Nos resulta: 75º Ahora hacemos: 0.30712 x 60 → 18.4272 Resulta: 18 ‘ Finalmente hacemos: 0.4272 x 60 → 25.632 Resulta: 25.6” Resultado: 75º 18’ 25.6” acos

4.2. Caso 2: Se conoce los dos catetos b y c. Cálculo de a : Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c) → cos a = cos b cos c. Para la especie se analizarán los signos (+.-, etc). Cálculo de B : Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b) Cálculo de C : cos (90º - c) = ctg C ctg (90º - c) → sin b = ctg C tg c

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: c = 40º 44’ 06” b = 64º 48’ 03” Solución: → a = 71º 10’ 45” → B = 72º 55’ 49” → C= 43º 35’ 04”

4.3. Caso 3: Se conoce la hipotenusa a y un ángulo B. Cálculo de b : Neper : cos (90º - b) = sin a sin B → sin b = sin a sin B. El lado b es de la misma especie que B. Cálculo de c : Neper : cos B = ctg a ctg (90º - c) → cos B = ctg a tg c → tg c = cos B tg a [La especie : regla de los signos] Cálculo de C : cos a = ctg B ctg C C es de la misma especie que c.

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: c = 152º 24’ 04” b = 68º 38’ 02” Solución: → b = 25º 32’ 30” → C = 156º 10’ 52” → c= 169º 13’ 01”

4.4. Caso 4: Se conoce los dos ángulos B y C (*). Cálculo de a (hipotenusa) : Neper : cos a = ctg B ctg C La especie de a: por la regla de los signos. Cálculo de b : Neper : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b Cálculo de c : cos C = sin B sin (90º - c) La especie de b y c es la misma que la de sus ángulos opuestos. .

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: C = 67º 38’ 08” B = 155º 12’ 06” Solución: → a = 152º 56’ 25” → b = 168º 59’ 49” → c= 24º 52’ 53”

4.5. Caso 5: Se conoce un cateto, b, y el ángulo opuesto al otro, C . Cálculo de a (hipotenusa) : Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b) La especie de a: por la regla de los signos. Cálculo de c : Neper : cos (90º - b) = ctg C ctg (90º - c) → sin B = ctg C tg c → tg c = sin b tg C Cálculo de B : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b c se halla en el mismo cuadrante que C; B en el mismo que b . .

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: b = 121º 42’ 05” C = 154º 08’ 06” Solución: → B = 103º 15’ 09” → a = 60º 56’ 09” → c = 157º 35’ 05”

4.6. Caso 6: Se conoce un cateto, b, y su ángulo opuesto, B . Cálculo de a (hipotenusa) : Neper : cos (90º - b) = sin a sin B Cálculo de c : Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b) → sin c = ctg B tg b Cálculo de C : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b Como b, B son de la misma especie (+/+ = +, -/- = +) → sin a, sin c y sin C = (+), sin embargo los ángulos pueden ser <90º ó >90º . .

4.7. Discusión del caso 6. I) b<90º, B>90º No tiene solución Una “solución” a = 90º Dos soluciones

II) b = 90º → Triángulo birrectángulo (se estudia más adelante) III) b > 90º y B > 90º No tiene solución Una “solución” a = 90º Dos soluciones Cuando hay dos soluciones, debe tenerse en cuenta: * Lado y ángulo opuesto son de la misma especie. * La hipotenusa es aguda si los catetos son de la misma especie, obtusa en caso contrario.

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectángulo: b = 46º 46’ 04” B = 57º 28’ 03” Solución: b < 90º y b < B → → dos soluciones. a1 = 59º 47’ 25” a2 = 120º 12’ 35” [180º - a1] c1 = 42º 43’ 28” c2 = 137º 16’ 32” [180º - c1] ] C1 = 51º 43’ 55” C2 = 128º 16’ 05” [180º - C1]

Recordar: b = 46º 46’ 04” (< 90º) Las dos soluciones son: a1 = 59º 47’ 25” (hipotenusa aguda) c1 = 42º 43’ 28” C1 = 51º 43’ 55” Y la otra: a2 = 120º 12’ 35” (hipotenusa obtusa) c2 = 137º 16’ 32” C2 = 128º 16’ 05”

Triángulos rectilateros Propiedades y resolución

4.8 Resolución de triángulos esféricos rectiláteros. ( a = 90º) El pentágono de Neper pasa a ser: Las reglas son las mismas Ejemplo: Resolver el triángulo esférico rectilatero: c = 60º 34’ 09” B = 122º 18’ 08” Solución: cos c = ctg(180º – A) ctg(90º – B) → cos b = sin c cos B = 0.87095 * (-0.53438) = -0.46542 → b = 117º 44’ 14” tan C = tan c sin B = 1.77248 * 0.84524 = 1.49817 → C = 56º 16’ 40” → A = 72º 44’ 31”

Propiedades de los triángulos rectiláteros Sea ABC un triángulo rectilatero (a = 90º) → su polar A’B’C’ es triáng. rectángulo:, además se verifica: A’ = 180º - 90º a’ = 180º - A B’ = 180º - b b’ = 180º - B C’ = 180º - c c’ = 180º - C 1) Ningún ángulo puede ser cuadrantal (90º) a’ ≠ 90º → 180º - A ≠ 90º → A ≠ 90º b ≠ 90º → 180º - B ≠ 90º → B ≠ 90º c’ ≠ 90º → 180º - C ≠ 90º → C ≠ 90º

2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º) B’ < 90º y b’<90º → 180º - B < 90º y 180º - b < 90º → B > 90º y b > 90º Análogamente B’>90º y b’>90º → B < 90º y b < 90º 3) O los tres ángulos son mayores de 90º, o sólo uno de ellos es mayor de 90º (los otros dos menores) De la fórmula: cos A = - cos B . cos C = - (-) . (-) → A, B, C >90º = - (+) . (+) → A>90º + = - (+) . (-) → C>90º + = - (-) . (-) → B>90º

4) Si los ángulos B y C son de la misma especie → A obtuso Si “ “ “ B y C “ “ distinta “ → A agudo Según la propiedad 3: A > 90º → y A < 90º 5) Un ángulo B es menor que su lado opuesto b si ambos B, b < 90º “ “ B es mayor “ “ “ “ b si B, b > 90º

6) El ángulo A está comprendido entre cada uno de los ángulos y sus suplementarios respectivos Si B en el cuadrante I: B < A < 180º - B Si B en cuadrante II: 180 - B < A < B Demostración: sin B = sin b sin A → sin B < sin A 7) La suma de los dos lados b y c está comprendida entre 90º y 270º, y la diferencia es menor que 90º. 90º < B’ + C’ < 270º → 90º < 180º - b + 180º - c < 270º → 90º < 360º - b - c < 270º → -270º < - b - c < -90º → 90º < b + c < 270

Ejemplo: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero: Solución: A: cos(90º - C) = sin(180º - A) sin c c, C < 90º y c > C → sin c > sen C →

b: cos c = sin b sin (90º - C) = sin c cos C B: cos (90º - B) = ctg c ctg (90º - C) Solución 1: A1, B2, b2 . Solución 2: A2, B1, b1.

Ejemplo 2º: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero: B = 47º 33’ 12” Solución: B < 90º → b < 90º ; y A < 90º → Ángulos menores de 90º → C > 90º → c > 90º c: cos c = ctg(180º - A) ctg(90º - B) → c = 150º 41’ 02” b: cos (90º - B) = sin b sin(180º - A) → → no valida C: cos(180º - A) = sin(90º - B) sin(90º - C) → - cos A = cos B cos C