Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad Funciones y gráficas Modelación de funciones 1

Ejemplo 1 Grafique las siguientes funciones. a. y = 3 – 2x b. y = 3 – 2x + x2 c. q = -2p + 6, ecuación de demanda con q eje horizontal y p en el eje vertical. d. , ¿corresponde a una curva de oferta o demanda?. Indique el tramo racionalmente económico.

Problema 1 Una fábrica planea vender una nueva calculadora graficadora. El costo fijo para establecer la nueva línea de producción es de $1 000, el costo marginal de producción es de $20 y el precio de venta se proyecta en $30 por cada calculadora. Exprese la función costo total e ingreso de producir y vender x calculadoras graficadoras. ¿Cuántas calculadoras debe vender la firma con el fin de obtener el punto de equilibrio? Grafique la función costo total, ingreso y utilidad en un mismo plano cartesiano.

Problema 2 Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto, utilizando la orilla del río como un lado del área encerrada. Si el constructor tiene 600 metros de cerca, halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede encerrar y calcule el área máxima. Suponiendo que el terreno tiene 30 000 m2 de área: b. Halle las dimensiones del terreno para que la longitud de la cerca sea de 490 m. c. ¿Podría determinar las dimensiones del terreno para que la longitud de la cerca sea mínima?

Problema 3 La función de demanda para un producto esta dada por la ecuación: p = 1000 – 2q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades por semana. Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del productor, y determine este ingreso.

Problema 4 La población de una cierta ciudad de 15 000 habitantes crece a razón de 4% anual. Determine: Una ecuación que dé la población P, después de t años a partir de ahora. b. La población dentro de 3 años.

¿Cuál fue el ingreso durante el tercer año? Problema 5 Los ingresos por las ventas de cierto artículo son aproximados por: donde “ t ” representa el número de años que ha estado a la venta en el mercado y la función I representa los ingresos en dólares. Determine B, si inicialmente los ingresos fueron de 1 200 dólares. ¿Cuál fue el ingreso durante el tercer año? ¿Cuándo los ingresos fueron de 1900 dólares? ¿Tendrá ingreso máximo?

Problema 6 El administrador de un edificio con 16 departamentos descubrió que cada incremento de US$ 40 en la renta mensual trae como consecuencia un departamento vacío. Todos los departamentos se rentarán a US$ 500. ¿Cuántos incrementos de US$ 40 producirán el ingreso máximo para el edificio y cuál es ese ingreso máximo? 8

Problema 7 Cierto libro se vende en $ 12. El autor recibe derechos de 10% por los primeros 10 000 ejemplares vendidos; 12,5% por los siguientes 5 000 y 15% por cualquier ejemplar adicional. Determine una función “R” definida por partes que especifique los derechos totales del autor si se venden “x” ejemplares y trace su gráfica.

Problema 8 Una compañía de autobuses adoptó la siguiente política de precios para grupos que desean contratar sus vehículos. A los grupos de no más de 40 personas se les cobrará una cantidad fija de $ 2400. Los grupos que tienen entre 40 y 80 personas, pagarán por persona $ 60 menos 50 centavos por cada persona adicional a 40. La tarifa más baja de la compañía, $ 40 por persona, se ofrecerá a grupos de 80 o más personas. a. Exprese el ingreso de la compañía de autobuses como una función del tamaño del grupo. b. Trace la gráfica.

Problema 9 El 12 de Noviembre de 2007, la compañía de gas CALIDAD tenía la siguiente tarifa para el consumo de gas natural en residencias unifamiliares: Cargo por servicio mensual: $ 7,00 Cargo por distribución: Primeros 90 litros: $ 0,21 por litro Más de 90 litros: $ 0,12 por litro Cargo de gas: $ 0, 25 por litro a. ¿Cuál es el cargo por consumir 50 litros en un mes? b. Construya una función que relacione el cargo mensual “C” para “x” litros de gas. c. Trace la gráfica de la función C.

Problema 10 Cuando los factores ambientales imponen un límite superior N en el tamaño de una población P, ésta crece a una tasa T conjuntamente proporcional al tamaño actual y a la diferencia entre el límite superior y su tamaño actual. Exprese la tasa de crecimiento demográfico como una función del tamaño de la población. b. Halle el dominio de la expresión anterior.