TEMA 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE

INTRODUCCIÓN Muchas de las ED y sistemas de ED que se resolvieron en el tema anterior, también se pueden resolver mediante otro método muy diferente. Este método se basa en el concepto de la transformada de Laplace de una función se puede emplear para convertir una ED o un sistema de ED en una ecuación algebraica o en un sistema de ecuaciones algebraicas.

VENTAJAS Método de solución relativamente más rápido y eficaz. Es mucho mas conveniente para resolver problemas con valor inicial para EDL con coeficientes constantes (aun habiendo discontinuidad de salto). Reemplazar las ED con coeficientes constantes en el dominio de t por ecuaciones algebraicas (mas sencillas) en el dominio de s. Por ejemplo Si X (s) es la transformada de Laplace de x(t ) entonces la transformada de x′(t ) es sX (s) − x(0) Para que este procedimiento sea útil debe de haber una forma sencilla de pasar del dominio de t al dominio de s y viceversa. De hecho existen tablas y teoremas que facilitan esta conversión en muchas circunstancias útiles.

DESVENTAJA Este método de la transformada de Laplace es menos útil con ecuaciones que tienen coeficientes variables o con ecuaciones no lineales. Necesitamos álgebra elemental.

¿Transformadas? En el tema anterior estudiamos los operadores diferenciales. Estos operadores consideraban una función y la transformaban (mediante la derivación) en otra función. La transformada de Laplace es un operador integral, es otra de tales trasformaciones, que a una función (o ED) dada, la transforman en una función diferente.

𝐹(𝑠)=𝐿{𝑓(𝑡)}= 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMDA DE LAPLACE Y CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA. DEFINICIÓN Sea f (t ) una función en [0,∞) . La transformada de Laplace de f es la función F definida mediante la integral. (1) El dominio de F (s) está formado por todos los valores de s para los que la integral en (1) existe. 𝐹(𝑠)=𝐿{𝑓(𝑡)}= 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Observe que la integral (1) es una integral impropia siempre que el limite exista. Esto ocasiona que la existencia de la transformada de Laplace de una función este en función a la convergencia de la integral impropia. “El nombre de transformada proviene del hecho de que este operador transforma una función en el dominio de t (frecuentemente el tiempo) en una función F en el dominio de s (en muchos casos la frecuencia)”. 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡= lim 𝑁→∞ 0 𝑁 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

TEOREMA. Condiciones para la existencia de la transformada. Si f(t) es continua en partes en [0,∞) y de orden exponencial α, entonces L {f(t)} existe para s > α. NOTA: Pueden existir funciones que no cumplan con estas hipótesis y su transformada exista.

LA TRANSFORMADA COMO UN OPERADOR LINEAL. TEOREMA. Linealidad de la transformada Sean f1, f2 y f3 funciones cuyas trasformadas de Laplace existen para s > α y c es una constante. Entonces: Este teorema afirma que la transformada de Laplace es lineal, por lo tanto cumple con todas las propiedades de las trasformaciones lineales vistas en Álgebra lineal. 𝐿{ 𝑓 1 (𝑡)+ 𝑓 2 (𝑡)}=𝐿{ 𝑓 1 (𝑡)}+𝐿{ 𝑓 2 (𝑡) 𝐿{𝑐𝑓(𝑡)}=𝑐𝐿{𝑓(𝑡) 𝐿{𝛼 𝑓 1 (𝑡)+𝛽 𝑓 2 (𝑡)}=𝛼𝐿{ 𝑓 1 (𝑡)}+𝛽𝐿{ 𝑓 2 (𝑡)

Si no tuviéramos acceso a una tabla de transformadas de Laplace, tendríamos que recurrir a la definición esto implica la evaluación de integrales impropias, lo que podría ser una tarea “tediosa”, aunque la propiedad de linealidad de la transformada nos puede ser de ayuda solo en algunos casos (sumas) pero ¿si se tienen multiplicaciones de funciones ?

Debido a ello ahora analizaremos algunas propiedades adicionales de la trasformada de Laplace que simplifican su cálculo. Así como también nos permitirán usar la trasformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial.

𝐿{ 𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)}=𝐿{𝑓(𝑡)} | 𝑠→𝑠−𝑎 TEOREMA DE TRASLACIÓN EN EL DOMINIO DE S (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN) Si la trasformada de Laplace L {f(t)} = F (s) existe para s > α entonces Este teorema ilustra el efecto sobre la transformada de Laplace de la multiplicación de una función f (t) por 𝑒 𝑎𝑡 . O bien se puede decir: 𝐿{ 𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)}=𝐹(𝑠−𝑎 para s > ∝ + 𝑎 𝐿{ 𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)}=𝐿{𝑓(𝑡)} | 𝑠→𝑠−𝑎

TRANSFORMADA DE LA DERIVADA DE ORDEN n DE UNA FUNCIÓN Sean f (t) continua en [0,∞) y f ′(t ) continua por partes en [0,∞) ambas de orden exponencial α . Entonces: Generalizando: Sean 𝑓 𝑡 ,𝑓´ 𝑡 , 𝑓 𝑛 𝑡 ,…, 𝑓 𝑛−1 𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑛 0, ∞ 𝑦 𝑠𝑒𝑎 𝑓 𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 0,∞ , 𝑐𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝛼. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: Estos teoremas nos muestran que la transformada de Laplace es una herramienta útil para el curso, para resolver problemas con valores iniciales. Nos dicen que al usar la transformada de Laplace podemos reemplazar la “derivación con respecto de t” con la “multiplicación por s”, convirtiendo con ello una ED en una ecuación algebraica. 𝐿{𝑓´(𝑡)}=𝑠𝐿{𝑓(𝑡)}−𝑓(0 𝐿{ 𝑓 𝑛 (𝑡)}= 𝑠 𝑛 𝐿{𝑓(𝑡)}− 𝑠 𝑛−1 𝑓(0)− 𝑠 𝑛−2 𝑓´(0)−...− 𝑓 𝑛−1 (0

DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN Sea F (s) = L{ f (t)} y suponga que f (t) es continua por partes en [0,∞) y de orden exponencial α . Entonces: 𝐿{ 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)}= −1 𝑛 𝑑 𝑛 𝑑 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠)

TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN Sea f (t) una función de orden exponencial. Suponga que f (t) se define para s > α, (salvo posiblemente en una sucesión finita o infinita que tiende a ∞), y que f (t) es integrable en el intervalo [0,t] para cualquier t ≥ 0 . Entonces: 𝐿 0 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑠 𝐿 𝑓 𝑡 Este teorema nos da la oportunidad de encontrar la transformada de Laplace de una integral sin tener que evaluar primero la integral.

COROLARIO DEL TEOREMA ANTERIOR Si f (t ) satisface las condiciones del teorema anterior entonces: 𝐿 0 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑠 𝐿 𝑓 𝑡 − 1 𝑠 0 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Para una constante cualquiera 𝛼.

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Con frecuencia, será necesario invertir el proceso de encontrar una transformada de Laplace. Esto es, se requerirá la capacidad de encontrar una función f (t ) , para la cual se tiene una función dada en s, que es la transformada de Laplace. Por ejemplo se reconoce que 3 𝑠 es la transformada de la función constante 3 esto es: 𝐿 −1 3 𝑠 =3 y decimos que 3 es la transformada inversa de 3 𝑠

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DEFINICIÓN Dada una función F(s), si existe una función f (t) que sea continua en [0,∞) y satisfaga L{f(t)}=F(s) entonces decimos que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y utilizamos la notación 𝑓 𝑡 = 𝐿 −1 𝐹 𝑠 NOTA: Las tablas de transformadas de Laplace serán de gran ayuda para determinar la transformada inversa de Laplace de una función dada F (s).

LA NO UNICIDAD DE LA TRANSFROMADA INVERSA Si dos funciones diferentes tienen la misma transformada de Laplace estas difieren solamente en un conjunto de puntos de discontinuidad en los que los límites laterales existen, es decir a lo mas una de ellas puede ser continua. NOTA: En el curso trabajaremos con funciones continuas pues las solucione de ED son continuas. No siempre se encuentran transformadas F (s) que corresponden a las de la tabla de transformadas de Laplace. Para funciones F (s) mas complejas, se usan propiedades de 𝐿 −1

Linealidad del operador 𝐿 −1 Suponga que 𝐿 −1 𝐹 𝑠 , 𝐿 −1 𝐹 1 𝑠 𝑦 𝐿 −1 𝐹 2 𝑠 existen y son continuas en [0,∞) y sea c cualquier constante. Entonces: 1) 𝐿 −1 𝐹 1 𝑠 + 𝐹 2 𝑠 =| 𝐿 −1 𝐹 1 𝑠 + 𝐿 −1 𝐹 2 𝑠 2) 𝐿 −1 𝑐𝐹 𝑠 =𝑐 𝐿 −1 𝐹 𝑠