ALGEBRA DE BOOLE SISTEMAS DIGITALES

Introducción El álgebra booleana define constantes y funciones para describir sistemas binarios. Luego describe cierto número de teoremas que se pueden usar para manipular expresiones lógicas. CONSTANTES BOOLEANAS: consisten en "0" y "1". El primero representa el estado falso y el segundo el estado verdadero. SISTEMAS DIGITALES

VARIABLES BOOLEANAS: Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada, de salida o intermedias y reciben nombres que de ordinario consisten en caracteres alfabéticos como "A", "B", "X" o "Y". Las variables sólo pueden tomar los valores "0" ó "1". SISTEMAS DIGITALES

FUNCIONES BOOLEANAS: Cada una de las funciones lógicas elementales está representada dentro del álgebra booleana mediante un símbolo único, como se muestra en la siguiente tabla: Función Símbolo Ejemplo AND Punto OR Más (+) NOT Barra SISTEMAS DIGITALES

Postulados Básicos Los postulados básicos utilizados en el álgebra booleana son los siguientes: Postulado 1: Postulado 2: SISTEMAS DIGITALES

Postulado 3: Postulado 4: Postulado 5: SISTEMAS DIGITALES

A B 1 SISTEMAS DIGITALES

Teoremas Booleanos El álgebra booleana define varios teoremas que se pueden usar para cambiar la forma de una expresión. Estos teoremas son los siguientes: SISTEMAS DIGITALES

Teorema 1: Dual: Teorema 2: Dual: SISTEMAS DIGITALES

Teorema 3: Dual: Teorema 4: Dual: Teorema 5: Dual: SISTEMAS DIGITALES

Teorema 6: Dual: Teorema 7: Dual: Teorema 8: SISTEMAS DIGITALES

Teoremas Simplificatorios Dual: Teorema 10: Dual: Teorema 11: Dual: Teorema 12: Dual: SISTEMAS DIGITALES

Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión Teorema 13: Dual: Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión SISTEMAS DIGITALES

Desarrollo SISTEMAS DIGITALES

Formas Especiales de Expresiones Booleanas SISTEMAS DIGITALES

Formas Canónicas SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS: En este caso para aplicar la expansión se aplica el teorema 10 Cada uno de los términos en forma canónica expresado en suma (OR de AND) se llama Mintérmino y se puede expresar en forma simplificada. Si en este caso a la variable natural se le asigna el valor lógico uno y la variable complementada el valor lógico cero. SISTEMAS DIGITALES

Ejemplo: SISTEMAS DIGITALES

Formas Canónicas PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS: Esta forma de expresar una función booleana se basa en el dual del teorema 10 Cada uno de los términos en forma canónica expresado en producto (AND de OR) se llama Máxtermino y se puede expresar en forma simplificada. Si en este caso a la variable natural se le asigna el valor lógico cero y la variable complementada el valor lógico uno. SISTEMAS DIGITALES

Ejemplo: SISTEMAS DIGITALES

Formas Mínimas Mínima Suma Productos Mínima Productos de Sumas En este caso interesa que la función booleana sea lo más pequeña posible, es decir que si está expresada en la forma OR de AND el número de sumandos y el tamaño de cada sumando debe ser mínimo. Si la función está expresada en la forma AND de OR entonces el tamaño y el número de factores debe ser mínimo. SISTEMAS DIGITALES

Métodos de Simplificación de Expresiones Booleanas SISTEMAS DIGITALES

Formas Canónicas MÉTODO ALGEBRAICO:Corresponde a los casos analizados anteriormente. MAPAS DE KARNAUGH: Los mapas o diagramas de Karnaugh representan una técnica gráfica para simplificar las ecuaciones de Boole. Es uno de los métodos más usuales para ecuaciones de hasta 4 ó 5 variables y se basa en el teorema 10: SISTEMAS DIGITALES

Introducción Mapa de Karnaugh Los Mapas de Karnaugh, como se dijo anteriormente, se utilizan para simplificar funciones booleanas. El número de casilleros que tendrá el mapa dependerá de la cantidad de variables que tenga la función. SISTEMAS DIGITALES

Ejemplo: Nº de variables: 2 Nº Casilleros: 2n=22=4 SISTEMAS DIGITALES

Dentro de cada casillero del mapa se debe poner un uno (1) o un cero(0) lógico dependiendo si la función está expresada como OR de AND o AND de OR. Para el caso de los mintérminos corresponde un “1” en el casillero, por el contrario, para cada maxtérmino corresponde un “0” al casillero SISTEMAS DIGITALES

Mapa para 3 Variables SISTEMAS DIGITALES

Mapa para 4 Variables SISTEMAS DIGITALES

Representación de Variables en Mapa de Karnaugh SISTEMAS DIGITALES

Hay que hacer notar que antes de realizar la representación de las variables de una función en el Mapa de Karnaugh se debe definir las variables más significativas (MSB) y la menos significativa (LSB) SISTEMAS DIGITALES

Ejemplo: Representar en mapa de Karnaugh SISTEMAS DIGITALES

Existen algunos casos en que el valor lógico que se debe asignar a los casilleros del mapa no está definido y nosotros podemos asignar el valor lógico “1” ó “0” según la conveniencia para la simplificación. Estás condiciones reciben el nombre de “Superfluas” o “No Importa” y se designan con los simbolos f o x SISTEMAS DIGITALES

Ejemplo: Representar en Mapa la siguiente función SISTEMAS DIGITALES

Definición e Interpretación Mapas de Karnaugh B C Z 1 Un diagrama de Karnaugh representa una ecuación de Boole de una forma bastante similar a una tabla de verdad. Ejemplo 1: SISTEMAS DIGITALES

SISTEMAS DIGITALES

Del ejemplo anterior se deduce que para una función booleana de 3 variables se necesita un mapa de 8 casilleros. En cada casillero se representa un "1" lógico para cada mintérmino y un "0" lógico para cada máxtermino. Debe notarse que la asignación de las variables en los casilleros tanto en el sentido vertical como horizontal corresponden al código Gray. SISTEMAS DIGITALES

Método de Simplificación Para simplificar una expresión booleana mediante el Mapa de Karnaugh se deben agrupar los casilleros que contienen 1 adyacente y en un número tal que sea potencia de 2 como agrupación de mintérminos, de lo que resulta un factor simplificado. Es posible representar esquemáticamente la cantidad de variables eliminadas producto de la agrupación: SISTEMAS DIGITALES

20 variables eliminadas = 0 21 variables eliminadas = 1 SISTEMAS DIGITALES

Criterios de Agrupación: La agrupación debe ser lo más grande posible Se debe tener el mínimo de agrupaciones Se agrupan los adyacentes en un número que sea potencia de 2 Criterios de Adyacencia: Casilleros con un lado común Reflexión de acuerdo al Código Gray SISTEMAS DIGITALES

Simplificar el mapa: SISTEMAS DIGITALES

Solución 1: SISTEMAS DIGITALES

Solución 2: SISTEMAS DIGITALES

El ejemplo anterior demuestra que al no hacer agrupaciones lo más grande posible se obtiene una función correcta pero que no es la forma mínima SISTEMAS DIGITALES