Circuitos Combinacionales

Presentación del tema: "Circuitos Combinacionales"— Transcripción de la presentación:

1 Circuitos Combinacionales
Implementación de Funciones Booleanas, Simplificación de Funciones Booleanas e Implementación NAND y NOR

2 Circuitos Combinacionales – Implementación de funciones booleanas
Un circuito combinacional es un conjunto de compuertas interconectadas cuya salida en un momento dado, es función solamente de la entrada en ese instante. Como ocurre con una compuerta sencilla, la aparición de la entrada viene seguida casi inmediatamente por la aparición de la salida. con solo retardos de compuerta. En general, un circuito combinacional consiste en n entradas binarias y m salidas binarias. Al igual que una compuerta, un circuito combinacional puede definirse de tres formas: Tabla verdad: para cada una de las 2" combinaciones posibles de las señales de entrada, se enumera el valor binario de coda una de las m señales de salida. Símbolo gráfico: describe la organización de las interconexiones entre compuertas. Ecuaciones booleanas: cada señal de salida se expresa como una función booleana de las señales de entrada.

3 Circuitos Combinacionales – Implementación de funciones booleanas
Cualquier función booleana se puede implementar en electrónica en la forma de una red de compuertas. Para una función dada, hay una serie de implementaciones alternativas. Considérese la función booleana represen­tada por la tabla de verdad de mostrada a continuación. Podemos expresar esta función sencillamente detallando las combinaciones de los valores de A , B, y C que hacen que F valga 1:

4 Circuitos Combinacionales – Implementación de funciones booleanas
Hay tres combinaciones de los valores de entrada que hacen que F valga 1, y si ocurre cualquiera de estas tres combinaciones, el resultado será 1. Este tipo de expresión, por razones evidentes, se conoce como la forma suma de productos (SOP, sum of products). La siguiente figura muestra una sencilla implementación con compuertas AND. OR y NOT.

5 Circuitos Combinacionales – Implementación de funciones booleanas
Se puede obtener también otra forma de la tabla verdad. La forma SOP indica que la salida es 1 si cualquiera de las combinaciones de entrada que pr­oducen 1 es cierta. También se puede decir que la salida es 1 si ninguna de las combinaciones de entrada que producen un 0 es cierta. Por lo tanto: Esto puede ser reescrito usando una generalización del teorema de DeMorgan: Entonces Esta función está representada en la forma de productos de suma (POS, product of sums), cuya implementación se muestra en la siguiente figura. Por claridad, las compuertas NOT no se muestran, En su lugar, se asume que cada señal de entrada y su complemento están disponibles. Esto simplifica el diagrama lógico y hace que las entradas a las compuertas más legibles.

6 Circuitos Combinacionales – Implementación de funciones booleanas

7 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas
Entonces, una función booleana puede ser implementada en las formas SOP o POS. En este punto, parecería que la elección depende del hecho de que la tabla de verdad contiene más 1s o más 0s para la función de salida. La forma SOP tiene un término para cada 1, y la forma POS tiene un término para cada 0. Sin embargo, hay más consideraciones: Generalmente es posible obtener una expresión booleana más sencilla de la tabla verdad que de las formas SOP o POS. Puede ser preferible implementar la función con compuertas sencillas (NAND o NOR) . El significado del primer punto es que, con una expresión booleana más sencilla, se necesitan menos compuertas para implementar la función. Para llevar a cabo esta simplificación se pueden usar tres métodos: Simplificación algebraica Mapas de Karnaugh Tablas de Quine-McKluskey

8 Simplificación Algebraica
Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Simplificación Algebraica Simplificación Algebraica La simplificación algebraica supone la aplicación de las identidades del álgebra boolena para reducir una expresión booleana a una con menos elementos. Por ejemplo, supongamos de nuevo la ecuación Un poco de razonamiento puede llevar a una expresión equivalente: O, de manera más simple, Esta expresión se puede implementar como se ve en la siguiente figura. La simplificación de la ecuación se ha hecho esencialmente por observación. Para expresiones más complejas, se requieren métodos más sistemáticos.

9 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Mapas de Karnaugh
Para objeto de simplificación, los mapas de Karnaugh son una forma conveniente de representar una función booleana con pocas variables (hasta un máximo de cuatro variables). El mapa es un arreglo de 2n cuadrículas, que representan las posibles combinaciones de los valores de n variables binarias. La siguiente figura, en el inciso a, muestra el mapa de cuatro cuadrículas para una función de dos variables. Es conveniente, para propósitos futuros, enumerar las combinaciones en el orden 00, 0 1 , 11 y 10 (un solo un bit cambia de valor de una combinación a otra en esta secuencia). Como las cuadrículas corresponden a combinaciones que se van a usar para escribir información, las combinaciones se escriben habitualmente en la parte superior de la cuadrículas. En el caso de tres variables, la representación es un arreglo de ocho cuadrículas (inciso b), con los valores de una de las variables a la izquierda y los valores de las otras dos variables encima de las cuadriculas. Para cuatro variables, se necesitan 16 cuadrículas, con la disposición indicada en el inciso c.

10 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Mapas de Karnaugh
El mapa se puede usar para representar cualquier función booleana de la siguiente forma. Cada cuadrícula corresponde a un único producto en la forma de suma de productos, con valor 1 correspondiente a la variable y valor 0 correspondiente al NOT (complemento) de dicha variable. Por lo tanto, el producto 𝐴 𝐵 corresponde a la cuarta columna del inciso b de la figura. Para cada uno de estos productos de la fun­ción, se coloca un 1 en la cuadrícula correspondiente. Por lo tanto, para el ejemplo de dos variables, el mapa corresponde a A 𝐵 + 𝐴 𝐵. Dada la tabla de verdad de una función booleana, es fácil construir el mapa: para cada combinación de los valores de las variables que dan como resultado 1 en la tabla verdad, se pone un 1 en la cuadrícula correspondiente . El inciso b de la figura anterior muestra el resultado para la tabla verdad de la función de tres variables (A, B y C) que se ha usado como ejemplo anteriormente. Para pasar de una expresión booleana a un mapa, primero es necesario poner la expresión en lo que se denomina forma canónica: cada término de la expresión debe contener cada variable. Así, por ejemplo, si se tiene la ecuación Se debe primero expandir en la forma completa Y posteriormente convertir la ecuación a un mapa.

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Los rótulos o etiquetas usados en el inciso d de la figura enfatizan la relación entre las variables y las filas y columnas del mapa. Aquí, las dos filas que abarca el símbolo A son aquellas en las que la variable A vale 1; las filas que no abarca el símbolo A son aquellas en las que A vale 0 (lo mismo ocurre para B , C, y D). Una vez que se ha creado el mapa de una función, podemos escribir, a menudo, una expresión algebraica sencilla anotando el conjunto de 1s del mapa. El principio es el siguiente: Dos casillas adyacentes cualesquiera difieren en solo una de las variables. Si dos casillas adyacentes contienen un 1, entonces los correspondientes términos producto difieren solo en una variable. En tal caso, los dos términos se pueden fundir en uno eliminando esta variable. Por ejemplo, en la siguiente figura, inciso a, las dos casillas o cuadrículas adyacentes corresponden a los términos 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 y 𝐴 𝐵𝐶𝐷. Entonces, la función se expresa Este proceso se puede ampliar de varias formas. Primero, el concepto de adyacencia se puede ampliar para incluir el recubrimiento alrededor del borde del mapa. Por tanto, la casilla más alta de una columna es adyacente a la más baja, y la casilla más a la izquierda de la fila es adyacente a la que está más a la derecha. Estas condiciones se ilustran en los incisos b y c de la siguiente figura. Segundo, podemos agru­par no solo dos casillas, sino 2n cuadrículas adyacentes (es decir, 2, 4, 8, etc.) Los tres siguientes ejemplos de la figura muestran agrupaciones de cuatro casillas. Hay que destacar que en este caso, dos de las variables son eliminadas. Los tres últimos ejemplos muestran grupos de ocho cuadrículas que permiten eliminar tres variables.

12 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Mapas de Karnaugh

13 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Mapas de Karnaugh
Se pueden resumir las reglas de simplificación como sigue: Entre las casillas marcadas (casillas con un 1), encontrar las casillas que pertenezcan a un único bloque lo más grande posible de 1, 2, 4 u 8 casillas y encerrar en un círculo el bloque. Seleccionar bloques adicionales de casillas marcadas que sean tan grandes como sea posible y en menor número posible, pero que incluya a cada casilla marcada al menos una vez. Los resultados pueden no ser únicos en algunos casos. Por ejemplo, si una casilla marcada se combina con exactamente otras dos casillas, y no hay una cuarta para completar un grupo mayor, entonces se debe elegir cual de las dos agrupaciones usar. Cuando se enmarcan (encierran en círculo) grupos, se permite usar el mismo valor de 1 más de una vez. Seguir dibujando círculos alrededor de las casillas marcadas aisladas (sencillas), o pares de casillas marcadas adyacentes, o grupos de cuatro, ocho, y así en delante, de tal manera que cada casilla marcada pertenece a al menos un círculo. Usar el menor número posible de estos bloques para incluir todas las casillas marcadas. Es necesario mencionar una característica adicional de los mapas de Karnaugh. En algunos casos, ciertas combinaciones de valores de las variables no se dan nunca, y, por consiguiente, la salida correspondiente no se produce tampoco. Estas se denominan condiciones de indiferencia (don’t care conditions). Para cada una de estas condiciones, se coloca la letra D o X en la casilla correspondiente del mapa. Cuando se hace la agrupación y simplificación, cada «d» puede tratarse como un 1 o un 0, eligiendo lo que conduzca a una expresión más sencilla.

14 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Mapas de Karnaugh
Ejemplo: El inciso a de siguiente figura se basa en la ecuación e ilustra el procedimiento de simplificación. Si quedan 1s aislados después de haber efectuado el agrupamiento, entonces, cada uno de ellos se rodea con un círculo como si fuera un grupo de unos. Finalmente, antes de pasar el mapa a una expresión simplificada booleana, cualquier grupo de unos que esté completamente solapado (redundante) por otros grupos se puede eliminar (inciso b de la figura). En este caso el grupo horizontal es redundante y se puede ignorar a la hora de crear la expresión booleana.

15 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Mapas de Karnaugh
Ejemplo: Sistema que incrementa en uno el valor de un dígito decimal empaquetado (BCD). El resultado es también un dígito decimal en BCD y la suma es módulo 10, es decir, = 10. Note que las combinaciones de 4 bits no utilizadas en BCD se marcan como condiciones de indiferencia (don’t care).

16 Método Quine-McKluskey
Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Método Quine-McKluskey Método Quine-McKluskey Para casos de más de cuatro variables, el método del mapa de Karnaugh se va haciendo cada vez más complejo y confuso. Con cinco variables, se necesitan dos mapas de 16 x 16, con un mapa situado encima del otro en tres dimensiones para conseguir la adyacencia. Seis variables requieren cuatro tablas de 16 X 16 en cuatro dimensiones! Un procedimiento alternativo es una técnica tabular, denominada método de Quine-McKluskey. El método es adecuado para la programación de una herramienta en un computadora que permita obtener automáticamente expresiones booleanas minimizadas (simplificadas). El método se explica mejor mediante un ejemplo. Considere la siguiente expresión: Asúmase que esta expresión se derivó de una tabla de verdad. Se desea producir una expresión mínima apropiada para ser implementada con compuertas lógicas. El primer paso es construir una tabla en la que cada fila corresponda a un término producto de la expresión. Los términos se agrupan de acuerdo con el numero de variables complementadas. Es decir, se empieza con el término sin complementos, si es que existe, luego todos los términos con un complemento, y así sucesivamente. La siguiente tabla muestra la lista de la expresión del ejemplo, con líneas horizontales usadas para indicar el agrupamiento. Para mayor claridad, cada término se representa con un 1 para cada variable sin complementar y un 0 para cada variable complementada. Entonces, se agrupan los términos de acuerdo al número de 1s que contienen. La columna índice es simplemente el equivalente decimal y es usado posteriormente.

17 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Método Quine-McKluskey
El primer paso es construir una tabla en la que cada fila corresponda a un término producto de la expresión. Los términos se agrupan de acuerdo con el numero de variables complementadas. Es decir, se empieza con el término sin complementos, si es que existe, luego todos los términos con un complemento, y así sucesivamente. La siguiente tabla muestra la lista de la expresión del ejemplo, con líneas horizontales usadas para indicar el agrupamiento. Para mayor claridad, cada término se representa con un 1 para cada variable sin complementar y un 0 para cada variable complementada. Entonces, se agrupan los términos de acuerdo al número de 1s que contienen. La columna índice es simplemente el equivalente decimal y es usado posteriormente. El siguiente paso es encontrar todos los pares de términos que difieren en solo una variable, es decir, todos lo pares de términos que son iguales excepto que una variable es 0 en uno de los términos y 1 en el otro. Debido a la manera en la que se agrupan los términos, esto se puede hacer empezando con el primer grupo y comparando cada término del primer grupo con cada término del segundo grupo. Después se compara cada término del segundo grupo con todos los términos del tercer grupo, y así sucesivamente. Cuando se encuentra un emparejamiento o coincidencia, se coloca una marca en cada término, se combina el par eliminando la variable en la que difieren los dos términos, y se añade a una nueva lista. Por ejemplo, los términos 𝐴 𝐵𝐶 𝐷 y 𝐴 𝐵𝐶𝐷 se combinan para producir el término 𝐴 𝐵𝐶. Este proceso continúa hasta que se haya examinado la tabla original entera. El resultado es una nueva tabla con las siguientes entradas:

18 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Método Quine-McKluskey
La nueva tabla es organizada en grupos, como se indicó anteriormente, en la misma forma que la primera tabla. La segunda tabla se procesa igual que la primera tabla. Es decir, los términos que difieren en solo una variable se marcan y el nuevo término que se produce se pone en una tercera tabla. En este ejemplo, la tercera tabla que se hace contiene solamente un término: BD. En general, el proceso continuaría a través de sucesivas tablas hasta que se tiene una tabla en la que no haya emparejamientos o coincidencias. En este caso, hay implicadas tres tablas. Una vez que se haya completado el proceso descrito anteriormente, se han eliminado muchos de los posibles términos de la expresión. Aquellos términos que no hayan sido eliminados se usan para construir una matriz, como se ilustra en la siguiente tabla. Cada fila de la matriz corresponde a uno de los términos que no se han eliminado (no fueron marcados) en cualquiera de las tablas usadas anteriormente. Cada columna corresponde con uno de lo términos de la expresión original. Se coloca una X en cada intersección de una fila y una columna tal que el elemento de la fila sea “compatible" con el elemento de la columna. Es decir, las variables presentes en el elemento de fila tienen el mismo valor que las variables presentes en el elemento de la columna. Después. se rodea con un circulo cada X que este sola en una columna. Entonces, se sitúa un cuadrado alrededor de cada X en cualquier fila en la que hay una X dentro de un círculo. Si cada columna ahora tiene ya sea una X dentro de un cuadrado o círculo, entonces se termina, y esos elementos de fila cuyas Xs han sido marcadas constituyen la expresión mínima. Entonces, en nuestro ejemplo, la expresión final es:

19 Circuitos Combinacionales – Simplificación de funciones booleanas – Método Quine-McKluskey
En los casos en los que algunas columnas no tengan ni un circulo ni un cuadrado, se necesita un proceso adicional. Esencialmente, se continúa añadiendo elementos de fila hasta que todas las columnas sean cubiertas. Resumiendo el método Quine-McKluskey para intentar justificar intuitivamente cómo funciona. La primera fase de la operación es razonablemente directa. El proceso elimina variables innecesarias en los términos producto. Entonces, la expresión ABC+𝐴𝐵 𝐶 es equivalente a AB, ya que Tras la eliminación de las variables, queda una expresión que es claramente equivalente a la expresión original. Sin embargo, puede haber términos redundantes en la expresión, tal como se encuentran agrupaciones redundantes en los Mapas de Karnaugh . La organización de la matriz asegura qué cada término en la expresión original sea incluido (cubierto) y se hace de forma que minimiza el número de términos en la expresión final.

20 Circuitos Combinacionales – Implementación NAND y NOR
Otra con sideración en la implementación de funciones booleanas concierne a los tipos de compuertas usadas. Es a menudo deseable implementar una funci6n booleana únicamente con compuertas NAND o solo con compuertas NOR. Aunque pueda no tratarse de la implementación con un mínimo de compuertas, tiene la ventaja de la regularidad, los que puede simplificar el proceso de fabricación . Consideremos de nuevo la ecuación Dado que el complemento del complemento de un valor es su valor original, Aplicando el teorema de DeMorgan, Lo cual tiene tres formas de NAN, como se ilustra a continuación: