Aplicaciones de la derivación OPTIMIZACIÓN Aplicaciones de la derivación

Área Superficial de un Círculo Optimización Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. h r 𝜋 𝑟 2 Área Superficial de un Círculo 𝜋 𝑟 2 ℎ Volumen de un Cilindro

Optimización 2𝜋𝑟 ℎ Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. h r 2𝜋𝑟 ℎ

𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟ℎ Optimización Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟ℎ Variables

𝜋 𝑟 2 ℎ 𝜋 𝑟 2 ℎ=1000 𝑐𝑚 3 Optimización Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. 𝜋 𝑟 2 ℎ Volumen de un Cilindro 𝜋 𝑟 2 ℎ=1000 𝑐𝑚 3

𝜋 𝑟 2 ℎ=1000 ℎ= 1000 𝜋 𝑟 2 Optimización Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. 𝜋 𝑟 2 ℎ=1000 ℎ= 1000 𝜋 𝑟 2

𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟ℎ Optimización 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟 1000 𝜋 𝑟 2 Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. ℎ= 1000 𝜋 𝑟 2 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟ℎ 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +2𝜋𝑟 1000 𝜋 𝑟 2 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 + 2000 𝑟 Ecuación a optimizar

Optimización 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 + 2000 𝑟 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +200 𝑟 −1 Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 + 2000 𝑟 Ecuación a optimizar Criterio de la primera derivada 𝐴 sup 𝑚𝑖𝑛 =2𝜋 𝑟 2 +200 𝑟 −1 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋𝑟−200 𝑟 −2 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋𝑟− 200 𝑟 2

Optimización 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋𝑟− 2000 𝑟 2 =0 4𝜋𝑟− 2000 𝑟 2 =0 Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. Criterio de la primera derivada 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋𝑟− 2000 𝑟 2 =0 4𝜋𝑟− 2000 𝑟 2 =0 Puntos críticos… 4𝜋𝑟= 2000 𝑟 2 𝑟 2 (4𝜋𝑟)=2000 4𝜋 𝑟 3 =2000 𝑟= 3 500 𝜋 ≈5,42 𝑟 3 = 2000 4𝜋 𝑟 3 = 500 𝜋

Optimización 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋𝑟− 2000 𝑟 2 𝐴′′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋+ 4000 𝑟 3 Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. El Criterio de la segunda derivada confirma que: 𝐴′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋𝑟− 2000 𝑟 2 𝐴′′ sup 𝑚𝑖𝑛 =4𝜋+ 4000 𝑟 3 4𝜋+ 4000 5,42 3 =37,68 37,68>0 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜

Optimización ℎ= 1000 𝜋 𝑟 2 ℎ= 1000 𝜋 (5.42) 2 ℎ=10,83 𝑐𝑚 Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. ℎ= 1000 𝜋 𝑟 2 ℎ= 1000 𝜋 (5.42) 2 ℎ=10,83 𝑐𝑚

r=5,42cm Optimización h=10.83cm Ejemplo #2 (Libro) Página 322 : Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. h=10.83cm r=5,42cm 1 LITRO

r Optimización h Ejercicio : Se va a fabricar un vaso cilíndrico que pueda contener 750ml de liquido. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del vidrio para fabricar el vaso. h r 750ml