PROPUESTA DE DISEÑO DE UNA PRÁCTICA: Una pequeña incursión en el ámbito de las funciones de dos variables: optimización usando argumentos gráficos Jesús.

Presentación del tema: "PROPUESTA DE DISEÑO DE UNA PRÁCTICA: Una pequeña incursión en el ámbito de las funciones de dos variables: optimización usando argumentos gráficos Jesús."— Transcripción de la presentación:

1 PROPUESTA DE DISEÑO DE UNA PRÁCTICA: Una pequeña incursión en el ámbito de las funciones de dos variables: optimización usando argumentos gráficos Jesús Ríos Paco Monserrat

2 Nivel de los alumnos a los que va dirigida: 2 0 BACHILLERATO Conocimientos previos:  Concepto de función y gráfica de una función (1 variable)  Familiaridad con problemas de optimización de funciones de una variable  Familiaridad con “lugares geométricos” definidos por ecuaciones implícitas (recta, plano, circunferencia, etc.)

3 Objetivos que se pretenden:  Mostrar cómo la Matemática ya conocida por el alumno puede aplicarse a aspectos inmediatamente identificables como “útiles” y “próximos”  Reforzar los conceptos de “función”, “gráfica” y “lugar geométrico”  Desarrollar la visión espacial  Introducir al alumno en problemas de optimización de funciones de dos variables, sin necesidad de más herramientas que una “pequeña” extensión de ciertos conocimientos previos

4 PROBLEMA Cálculo de las dimensiones de un envase en forma de “brick”, de 1 litro de volumen, realizado con la mínima cantidad de cartón posible.

5 Primer enunciado del problema, expresado en términos matemáticos: problema de optimización Cálculo de las dimensiones de un ortoedro de 1 litro de volumen y con superficie mínima.

6 Función superficie: a(x,y,z)=2(xy+xz+yz) Condición: volumen=1 z=1/(xy) Función objetivo: f(x,y)=a(x,y,1/(xy))

7

8

9

10

11 La solución parece ser: x=1 dm y=1 dm z=1 dm Con lo cual la superficie mínima será 6 dm 2 Otra manera de constatar gráficamente el resultado es mediante la utilización de curvas de nivel:

12 Las curvas de nivel correspondientes a la gráfica de una función f(x,y) se obtienen representando en el plano XY las curvas dadas por funciones implícitas de la forma: f(x,y)=k Siendo k un valor del recorrido de la función f.

13

14

15

16

17 SOLUCIÓN AL PROBLEMA: CUBO 1 dm

18 PROBLEMAS RELACIONADOS 1.Resolver el mismo problema con diferentes volúmenes e intuir cual será la solución para un volumen arbitrario v. 2.Determinar las dimensiones de un ortoedro de 6 dm 2 de superficie y con volumen máximo. Fijar distintos valores para la superficie y enunciar un resultado general.

19 Segundo enunciado del problema, en términos más “realistas”: Teniendo en cuenta la forma en la que realmente se construye un envase en forma de “brick”: mediante plegado de un rectángulo.

20 x2y 2x+0.08 z x2y Anchura pestañas: 0.08 dm Condición: volumen=1dm 3 (2x+0.08) ·2y · z=1 y y z=1/(4 xy+0.16 y) Función superficie:a(x,y,z)=(2y+z+2·0.08)·(4x+4y+3·0.08) Función objetivo:f(x,y)=a(x,y, 1/(4 xy+0.16 y) )

21 2x+0.08 z 2y

22

23

24

25

26 Solución aproximada: x=0.55 dmy=0.3 dmf(0.55, 0.3)=7.9076 dm 2 z=1.4124 dm 1.18 dm 1.4124 dm 0.6 dm

27 Rectángulo áureo Razón áurea=(1+5 1/2 )/2=1.61803...

28 Tercer enunciado del problema: Cálculo de las dimensiones de un “brick” de 1 litro de volumen de manera que una de sus caras es un rectángulo áureo y la superficie del rectángulo obtenido al “desplegarlo” sea mínima. Propuesta: Resolverlo utilizando como herramienta el programa Derive. ¿Se aproximan los “bricks” más estándar a la solución obtenida?

29

30

31

32

33 Solución aproximada: x=0.4577 dmy=0.3118 dmg(0.498)=7.9452 dm 2 z=1.6107 dm 0.995 dm 1.611 dm 0.624 dm

34