Curso de: Matemáticas de Apoyo Instructor: Dra. María Esther Treviño Martínez

Algebra Expresión algebraica: Combinación de números, letras y signos de operación: 3x2 − 5xy + 2y4 2a3b2 Monomio: expresión algebraica de un solo término en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 4x3y2z Binomio: expresión algebraica de dos términos 2x + 4y Trinomio: a2 + 2ab + b2 ; 3x2 + 2x − 5 Polinomio: 7x3y2 – 4xz5 + 2x3y

Algebra Expresiones algebraicas comunes El doble de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x2 Un número al cubo: x3  

Algebra Expresiones algebraicas comunes   Dos números consecutivos: x ; x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x ; 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 ; 2x + 3. Descomponer 24 en dos partes: x ; 24 − x. La suma de dos números es 24: x ; 24 − x. La diferencia de dos números es 24: x ; 24 + x. El producto de dos números es 24: x ; 24/x. El cociente de dos números es 24; x ; 24x.

Algebra Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas 2x2 y3 z El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z Grado de un monomio: Suma de los exponentes de la parte literal del término 4x3y2z es de grado 6 (3 + 2 + 1)

Algebra Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0 Polinomio nulo: tiene todos sus coeficientes nulos. Polinomio homogéneo: todos sus términos o monomios son del mismo grado. P(x) = 2x2 + 3xy Polinomio heterogéneo: sus términos no son del mismo grado. P(x) = 2x3 + 3x2 - 3 Polinomio completo: contiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3 Polinomio ordenado: cuando los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3

Algebra Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas Polinomios iguales: si el grado y los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x − 3 + 2x3 Polinomios semejantes: si tienen la misma parte literal. Q(x) = 5x3 − 2x − 7 Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4 Grado de un polinomio: Corresponde al grado mayor de los términos 7x3y2 − 4xz5 + 2x3y es de grado 6 (5 + 6 + 4)

Orden de las operaciones Algebra Orden de las operaciones Símbolos de agrupamiento: ( ), [ ] , { } Preferentemente jerarquizar { [ ( ) ] } Primero las que están dentro de paréntesis (o barras de valor absoluto o de fracciones). Luego, potencias y raíces de izquierda a derecha. Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. Sumas y restas de izquierda a derecha. Suma y resta de expresiones algebraicas Se efectúa agrupando términos semejantes: Sumar: 7x + 2y2 +3z y 9x + 6y + 9z Restar: 2x2 – 3xy + 5y de 10x2 + 4xy − 2y2

Algebra Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia. (axn)m = am · xn · m (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6

Algebra Multiplicación de expresiones algebraicas 1) Multiplicación de monomios: Se aplican las reglas de la potenciación multiplicar –3x2y3z, 2x4y y –4xy4z2 R= 24x7y8z3 2) Multiplicación de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Multiplicar: 3xy – 4x3 +2xy2 por 5x2y4 R= 15x3y5 – 20x5y4 + 10x3y6 3) Multiplicación de dos polinomios: Se multiplican todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro. Multiplicar: –3x + 9 + x2 por 3 – x R= – x3 + 6x2 – 18x + 27 Multiplicar (–2x3 + 8x + 3x2 – 6)(2x + 6x2 – 8)

Algebra División de expresiones algebraicas División de monomios: Se aplican las reglas de la potenciación. dividir 24x4y2z3 por –3x3y4z 2) División de dos polinomios: Se ordenan ambos polinomios según las potencias decrecientes de una de las letras comunes a ambos polinomios. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. Con el dividendo de c), se repiten las operaciones b) y c) hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo. dividir x2 +2x4 –3x3 + x –2 por x2 –3x +2

Algebra División de expresiones algebraicas

Productos de interés práctico Algebra Productos de interés práctico Binomio al cuadrado (a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9 (2x − 3)2 = 4x2 − 12 x + 9 Binomios conjugados (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = 4x2 − 25

Productos de interés práctico Algebra Productos de interés práctico Binomio al cubo (a ± b)3 = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2 ± b3 (x + 3)3 = x 3 + 9x2 + 27x + 27 (2x − 3)3 = 8x 3 − 36x2 + 54x − 27 Trinomio al cuadrado (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (x2 − x + 1)2 = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x (x2 − x + 1)2 = x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Algebra El Binomio de Newton da el desarrollo de (a + b)n según las potencias crecientes de a (y decrecientes de b). En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios akbn − k.

Algebra Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n son dados por la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

Productos de interés práctico Algebra Productos de interés práctico Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Productos de interés práctico Algebra Productos de interés práctico Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 − 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Algebra Descomposición en factores Los factores de una expresión algebraica son dos o más expresiones que multiplicadas entre sí originan la primera: x2 – 7x + 6 (x – 1) (x – 6) = x2 -6x -x + 6 x2 + 2xy – 8y2 (x + 4y)(x – 2y) = x2 -2xy +4xy – 8y2

Factorización de polinomios Algebra Factorización de polinomios Factor común   Consiste en aplicar la propiedad distributiva: ac + ad = a(c+d) x3 + x2 = x2 (x + 1) 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2) x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b) 6x2y – 2x3 = 2x2(3y – x)   2x3y – xy2 + 3x2y = xy(2x2 – y + 3x)

Algebra Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)   Trinomio cuadrado perfecto x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2 Otros trinomios x2 – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1) x2 + xy – 12y2 = (x – 3y)(x + 4y) 3x2 – 5x – 2 = (3x + 1)(x – 2) 6x2 + 5x – 4 = (3x + 4)(2x - 1)

Suma y diferencia de cubos Algebra Factorización por agrupamiento x3 - 5x2 + x - 5 (x3 - 5x2 ) + (x - 5) x2 (x - 5 ) + 1(x - 5) (x2+ 1) (x - 5)   Suma y diferencia de cubos x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4) x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4)

Algebra Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos. Amplificación de fracciones algebraicas Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio.

Algebra Suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador

Algebra Suma de fracciones algebraicas con el distinto denominador

Algebra Multiplicación de fracciones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Algebra División de fracciones algebraicas El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Algebra Fracciones compuestas