FUNCIONES CUADRATICAS
Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.
Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .
La función cuadrática más sencilla es f(x) = cuya gráfica es: Esta curva simétrica se llama parábola.
Trace la gráfica de g(x) = x2 – 4 Al comparar las tablas de valores para g(x) = x2 - 4 y f(a) = x2 que se muestran en la figura 27, podemos ver que para valores correspondientes de x, los valores y de g son cada uno de 4 menos que los de f. Véase la figura 27. El vértice de esta parábola, en este caso el punto más bajo, está en (0, -4). El eje de la parábola es la recta vertical x = 0.
g(x) = x2 – 4 f(x) = x2 x y -2 -1 1 2 -3 -4 x y -2 -1 1 2 4
Trace la gráfica de g(x) = (x - 4)2 Al comparar los valores que aparecen con la figura 28 se observa que la gráfica de g(x) = (x - 4)2es la misma que la de f(x) = x2, pero trasladada 4 unidades a la derecha. El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la figura 28, el eje de esta parábola es la recta vertical x = 4.
g(x) = (x – 4)2 f(x) = x2 x y 2 3 4 5 6 -3 -4 x y -2 -1 1 2 4
Trace la gráfica de la función cuadrática f(x) = x2 - x - 6. Como a > 0, la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre la intersección con el eje y. f(x) = x2 - x – 6 f(0) = 02 - x - 6 Determine f(0) f(0) = - 6 La intersección en el eje de y es (0, -6). Ahora encuentre las intersecciones en el eje x. 0 = x2 - x – 6 sea f(x) = 0 0 = (x - 3) (x + 2) Factorice x - 3 = 0 o x + 2 = 0 Igual cada factor a 0 y resuelva x = 3 o x = -2
Las intersecciones en el eje x son (3,0) y (-2,0) Las intersecciones en el eje x son (3,0) y (-2,0). El vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, - 25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y ubique cualquier punto adicional como sea necesario. Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se muestra en la figura 30
Como hemos visto, el vértice de una parábola vertical es el punto más alto o el punto más bajo de la parábola. La ordenada del vértice da el valor máximo o mínimo de y, mientras que la abscisa indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo. Resolución de problemas En muchos problemas prácticos necesitamos conocer el valor más grande o el más pequeño de alguna cantidad. Cuando esa cantidad puede expresarse por medio de una función cuadrática f(x ) = ax2 + bx + c, como en el ejemplo siguiente, el vértice puede usarse para determinar el valor deseado.
FUNCIONES CUBICAS
LA FUNCIÓN CÚBICA Las funciones cúbicas son las que se expresan mediante un polinomio de segundo grado: Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales que conocemos como coeficientes del polinomio; y su gráfica recibe el nombre de cúbica.
DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES CÚBICAS La función cúbica f(x)= ax3+bx2+cx+d tiene como dominio y como recorrido el conjunto de los números reales (. Para graficar estas funciones, hay que elaborar una tabla de valores.
EJEMPLO: Grafique y obtenga el dominio y el recorrido de f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x. Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido. x –4 –3 –2 –1 1 2 3 f(x) –32 9 20 13 –7 4 45
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO TRES Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de funciones cúbicas Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión: - Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. - Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa.