MATEMÁTICA APLICADA FACILITADOR: LCDO. ALFREDO MEDINA INTEGRANTES: Carballo, Jairo García , Rafael Díaz, Rafael Loreto, Trina FACILITADOR: LCDO. ALFREDO MEDINA

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL La distribución multinomial es esencialmente igual a la binomial con la única diferencia de que cada prueba tiene más de dos posibles resultados mutuamente excluyentes.

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL Si se tiene K resultados posibles (Ei , i = 1, ... , K) con probabilidades fijas (pi , i = 1, ... , K), la variable que expresa el número de resultados de cada tipo obtenidos en n pruebas independientes tiene distribución multinomial.

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL La probabilidad de obtener x1 resultados E1, x2 resultados E2, etc. se representa como: Los parámetros de la distribución son p1,..., pK y n.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA En Estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es: N = Tamaño de población. n = Tamaño de muestra. d = Cantidad de elementos que cumple característica deseada. x = Cantidad de éxitos.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al extraer (sin reemplazo) una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones: Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos. 2) K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos. X cuenta el número de éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n. En este caso, la probabilidad del éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Características: Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados. Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes. Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí. El número de repeticiones del experimento n, es constante.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Ejemplo: 1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Solución: a)N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–3−1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Solución: b)N= 25 a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–4−1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es Su función de distribución es Aquí e significa el número e. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Ejemplo En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de . Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de este material? Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de es una v.a. de distribución exponencial:

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Ejemplo Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el 90% del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Ejemplo