Tema: Máximos y Mínimos Relativos Mamani Sucasiare, Jaime Roger 2006023091 Asmat Terreros, katia 2006029723 Melo Vargas, Jose Luis 2003018828 Quispe Torres, Jose Antonio 2004008639 Curso : Análisis Matemático para Economistas III Profesor : Luis Figueroa Aula : 42 – H Turno : Noche Integrantes:

1. Solución: Derivando Parcialmente la función f tenemos: …….(a) De (a) y (b) se obtiene el punto critico. P(0,0) Analizando por el criterio de la segunda derivada: ; D= . - D= (-2) (-2)- 0 = 4 > 0 y = -2 < 0 Se concluye que el punto P(0,0) es un máximo absoluto. …….(b)

2. Solución: Derivando Parcialmente la función f tenemos: …….(a) De (a) y (b) se obtiene el punto critico. P(0,0) Analizando por el criterio de la segunda derivada: ; D= . - D= (0) (0)- 1 = -1 < 0 Se concluye que el punto P(0,0) es un punto silla. …….(b)

3. Solución: Derivando Parcialmente la función f tenemos: …….(a) De (a) y (b) se obtiene los puntos críticos. p1(2,1) ; p2(2,-1) ; p3(-1,1) ; p4(-1,-1) Analizando por el criterio de la segunda derivada: ; D= . - …….(b) D1= (30) (6)- 0 = 180 > 0 y = 30 > 0 Se concluye que el punto p1(2,1) es un mínimo relativo. Para p1(2,1) tenemos:

Para p2(2,-1) tenemos: D1= (30) (-6)- 0 = -180 < 0 Para p3(-1,1) tenemos: D1= (-6) (6)- 0 = -36 < 0 Se concluye que el punto p3(-1,1) es un punto silla. Se concluye que el punto p2(2,-1) es un punto silla D1= (-6) (-6)- 0 = 36 > 0 y = -6 < 0 Se concluye que el punto p4(-1,-1) es un máximo relativo. Para p4(-1,-1) tenemos:

beneficio = utilidad unitaria * cantidad demandada 4. Problema de aplicación. (Problema Nº 8) Una tienda de licores vende dos marcas competidoras de vino barato, una de California y otra de New York. El propietario de la tienda puede obtener ambos vinos a un coste de 2 dólares por botella y estima que si el vino de California se vende a “x” dólares por botella y el vino de New York a “y” dólares por botella, los consumidores compraran aproximadamente 40-50x+40y botellas de vino de California y 20+60x-70y botellas de vino de New York cada día. ¿Qué precio debería poner el propietario a los vinos para generar el mayor beneficio posible? beneficio = utilidad unitaria * cantidad demandada

Solución (problema N°8) Beneficio total= beneficio Vino California + beneficio vino New York: ; D= . - D= (-100) (-140)- 10,000 = 4000 > 0 Se concluye que el punto P(2.7, 2.5) es un punto es máximo relativo. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: x=2.7 , y=2.5 Analizando por el criterio de la Segunda derivada se tiene: El precio que el vendedor debe vender cada tipo de vino es 2.7 para el vino California y 2.5 para el vino New York.

Problema de aplicación. (Problema Nº 9) 5. Problema de aplicación. (Problema Nº 9) La compañía de teléfonos esta planeando introducir dos nuevos sistemas de comunicación que espera vender a sus mayores clientes comerciales. Se estima que si el primer tipo esta valorado en x cientos de dólares por sistema y el segundo en y cientos de dólares por sistema, aproximadamente 40-8x +5y consumidores compraran el primer tipo y 50+9x-7y compraran el segundo tipo. Si el coste de fabricación del primer tipo es de 1000 dólares por sistema y el coste del segundo tipo es de 3000 dólares por sistema. ¿Qué precio deberá poner la compañía de teléfonos a los sistemas para generar el mayor beneficio posible? beneficio = utilidad unitaria * cantidad demandada

Solución (problema N°9) Beneficio total= beneficio sistema 1 + beneficio sistema 2: ; D= . - D= (-1600) (-1400)- (1400)(1400) = 280000 > 0 Se concluye que el punto P(30, 45) es un punto es máximo relativo. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: x=30 , y=45 Analizando por el criterio de la Segunda derivada se tiene: Se concluye que la compañía debe vender sus sistemas en 3000 y 4500 dólares por sistema.

Problema de aplicación. (Problema Nº 10) 6. Problema de aplicación. (Problema Nº 10) Un fabricante esta planeando vender un nuevo producto al precio de 150 dólares por unidad y estima que si se gastan “x” miles de dólares en desarrollo e “y” miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente: unidades del producto. Si los costes de fabricación de este producto son se 50 dólares por unidad.¿cuanto debería gastar el fabricante en desarrollo y promoción para generar el mayor beneficio? Solución: Se obtiene los puntos: p(4,6) Analizando por el criterio de la 2º derivada:

D =256>0 se concluye que en un máximo absoluto -16 P(4,6) Determinante Punto Según el cuadro tenemos: El fabricante debe invertir en desarrollo y promoción 4000 y 6000 dólares respectivamente.