Supervisión y Control de Procesos Bloque Temático I: Introducción al Control de Procesos Tema 3: Respuesta temporal y frecuencial de sistemas de Control

Respuesta ante una entrada arbitraria (I) u(t) u(t0) = δ(t0-t) u(t1) = δ(t1-t) δ(t1-t) δ(tn-t) u(t2) = δ(t2-t) δ(t0-t) δ(t2-t) u(tn) = δ(tn-t) t0 t1 t2 tn t Sistema lineal e invariante (superposición): y(t2) y(t) y(t1) y(t0) = u(t0)·h(t0-t0) y(t1) = u(t0)h(t1-t0) + u(t1)·h(t1-t1) y(t0) y(t2) = u(t0)h(t2-t0) + u(t1)·h(t2-t1) + u(t2)·h(t2-t2) h(t0-t0) y(tn) = u(t0)h(tn-t0) + u(t1)·h(tn-t1) + u(t2)·h(tn-t2) + … + u(tn)·h(tn-tn) h(t1-t0) t0 t1 t2 tn t

Respuesta ante una entrada arbitraria (II) Sistema lineal e invariante: y(t2) y(t1) y(t) y(t0) = u(t0)·h(t0-t0) y(t1) = u(t0)h(t1-t0) + u(t1)·h(t1-t1) y(t0) y(t2) = u(t0)h(t2-t0) + u(t1)·h(t2-t1) + u(t2)·h(t2-t2) y(tn) = u(t0)h(tn-t0) + u(t1)·h(tn-t1) + u(t2)·h(tn-t2) + … + u(tn)·h(tn-tn) t0 t1 t2 tn t Fórmula general: variable continua   k=n y(tn) = Σ u(k)h(n-k) y(t) = u(ζ)h(t- ζ)dζ  y(t) = u(t-ζ)h(ζ)dζ k=0 - - Integral de convolución

Respuesta ante una entrada arbitraria (III) Utilizando la integral de convolución, la respuesta ante una entrada del tipo: u = U0·e st será:   s(t- ζ) -st -sζ st y(t) = h(ζ)dζ U0·e = U0 h(ζ)dζ = H(s) ·e ·e ·e - - función de transferencia

Respuesta ante escalón La entrada escalón permite observar la respuesta de un sistema ante un tipo cambio de consigna en la referencia muy frecuente en los sistemas de control La entrada escalón es la integral de la entrada impulso (Problema: hacer la prueba con un script de Matlab) La salida ante escalón se puede calcular como la salida de la función de transferencia dividida por s, ante entrada impulso o como la integral de la salida ante impulso: e st δ(t)= , s  - e st y(t)= H(s)/s e st e st u(t)= δ(t)dt = dt = 1/s

Sistemas de primer orden K: ganancia estática o en régimen permanente T: constante de tiempo Respuesta impulsional: X(s)=1 Respuesta a un escalón: X(s)=1/s Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2

Sistemas de segundo orden (I) Si a,b>0, el sistema es estable K: ganancia estática T=2·/n: constante de tiempo >0: coeficiente de amortiguamiento n>0: frecuencia natural del sistema >0: constante de amortiguamiento o factor de decrecimiento Si <1, d : frecuencia amortiguada

Sistemas de segundo orden (II) respuesta impulsional a) Si >1: sistema sobreamortiguado b) Si =1: sistema críticamente amortiguado c) Si 0<<1: sistema subamortiguado d) Si =0: sistema sin amortiguamiento

Sistemas de segundo orden (III) respuesta escalón a) Si >1: sistema sobreamortiguado b) Si =1: sistema críticamente amortiguado c) Si 0<<1: sistema subamortiguado d) Si =0: sistema sin amortiguamiento

Control velocidad / posición diagrama de fuerzas: F = m·a y b·x · ·· u - = m·a = m·x b·x · u ecuación de posición x · · · Problema: Calcular la velocidad ante un cambio de referencia escalón en el acelerador (u=1*acel) Calcular la posición ante un cambio de referencia escalón en el acelerador (u=1*acel) ¿Se alcanza el valor final comandado en la velocidad?. ¿y en la posición? ¿Se puede controlar la posición del coche sin realimentar? x + b/m·x = u/m ecuación de velocidad · v=dx/dt v + b/m·v = u/m