Formas canonicas de sistemas LTI Sistemas dinamicos Formas canonicas de sistemas LTI

Contenido La forma canonica diagonal Transformacion de coordenadas y controlabilidad Transformacion de coordenadas y observabilidad Descomposicion canonica controlable Descomposicion canonica observable Descomposicion canonica

La forma canonica diagonal

La forma canonica diagonal Sean 1, 2,  + j, y   j los valores propios de A y v1, v2, v3, v4, los vectores propios correspondientes. Definiendo . Entonces tenemos

La forma canonica diagonal Aplicando la siguiente transformacion de similaridad a la matriz diagonal J

Transformacion de coordenadas y controlabilidad

Cambio de coordenadas y controlabilidad Sea el par (A,B) controlable Rango completo La controlabilidad es una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

La clase de los los sistemas controlables Se sabe que para todo par (A,B) controlable entonces la matriz de controlabilidad Q es de rango completo. ¿Existe una forma simple unica que represente a todos los sistemas controlables? La respuesta es SI

Forma canonica del controlador Si el par (A,B) es controlable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad como se demuestra a continuacion

Forma canonica del controlador , En virtud de la suposicion de controlabilidad, la matriz de controlabilidad Q es no singular y entonces existe un unico vector fila h el cual resuelve la ecuacion lineal con

Forma canonica del controlador Definiendo la matriz no singular Para demostrar que T es una matriz no singular, observese la matriz

Forma canonica del controlador Ya que por suposicion Q es no singular, entonces T es tambien no singular y z = Tx es una transformacion de coordenadas lineal

Forma canonica del controlador Por el teorema de Caley-Hamilton Sea el polinomio caracteristico de la matriz A:

Forma canonica del controlador ¿Pero que nos dice realmente esta estructura? Bien, definamos una variable escalar x = x1 y con, Entonces, notamos que, La ecuacion matricial se reduce a la ecuacion escalar

ESTO ES IMPORTANTE Entonces, cuando estudiamos el sistema lineal SISO controlable podemos hacer siempre un cambio de coordenadas que convierta al sistema en uno de orden n cuya variable de estado es un escalar  Tambien es claro que si, en forma inversa, uno comienza con un sistema escalar de orden n uno puede llevarlo a la forma (A,B,C,D) con el par (A,B) en la forma canonica del controlador. (A,B,C,D) sistema escalar de orden n sistema escalar de orden n (A,B,C,D)

Otras formas canonicas controlables Existen otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B). La forma canonica de controlabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky:

Otras formas canonicas controlables Investigar otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).

Transformacion de coordenadas y observabilidad

Cambio de coordenadas y observabilidad Sea el par (A,C) observable Rango completo La observabilidad una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

Forma canonica del observador Si el par (A,C) es observable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad

Forma canonica del observador Manipulando las ecuaciones del sistema en la forma canonica del observador es posible llegar a la siguiente expresion: Asi, un sistema observable puede ser llevado a la forma de una ecuacion diferencial para la salida en terminos de la entrada y sus derivadas. donde bn esta definido por D = [bn].

Otras formas canonicas observables Una forma alterna de la forma canonica del par observable (A,C) es la forma canonica de observabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky.

Otras formas canonicas observables Investigar otras formas canonicas alternativas para el par observable (A,C).

Descomposicion canonica controlable

Descomposicion canonica controlable Si el par (A,B) no es controlable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

Descomposicion canonica controlable Sea rank[Q] = p < n, y sean: U1 una matriz de nxp cuyas columnas formen una base para el espacio columna de Q , y U2 una matriz nx(n-p) cuyas columnas con las de U1 formen una base para Rn, es decir el espacio columna de [U1 U2] = Rn. Sea la transformacion de estado [U1 U2]z = x, Demostracion

Descomposicion canonica controlable Por construccion, U1 es A-invariante, y [U1 U2] es una base en Rn, entonces, existen matrices , tal que Por lo tanto, Demostracion

Descomposicion canonica controlable Por construccion, U1 contiene a B, entonces, existe una matriz B1 pxm tal que B = U1B1 o, Por lo tanto, Forma controlable de Kalman LQQD

El subsistema controlable es controlable. Es decir, Esto resulta de la forma como se construyeron las matrices A11 y B1

La funcion de transferencia La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable Esto implica que solo el subsistema controlable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

La funcion de transferencia Demostracion: La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable Demostracion

Ejemplo

Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia Ejemplo Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia

Descomposicion canonica observable

Descomposicion canonica observable Si el par (A,C) no es observable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

El subsistema observable es observable. Es decir, Esto se puede deducir de la dualidad Demostracion

La funcion de transferencia La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema observable Esto implica que solo el subsistema observable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

Descomposicion canonica

Descomposicion canonica Idea: Aplicar la descomposición controlable Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable Sistema:

Primer paso Aplicar la descomposición controlable

Paso 2 Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable

Paso 3 Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable

La descomposicion canonica Propiedades de la descomposicion canonica: El sistema es controlable y observable Las dimensiones de los bloques no cambian Las propiedades de los modos no cambian

La descomposicion canonica

La descomposicion canonica Resumen 1) 2) G(s) es invariante bajo la transformacion de estado del subsistema controlable y obserbable

La descomposicion canonica Resumen 3) Los subsistemas controlable y observable son la esencia de la dinamica del sistema 4) es el descriptor de orden minimo de la funcion de transferencia

Fuentes A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007 Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

FIN