Sistemas dinamicos Estabilidad.

Presentación del tema: "Sistemas dinamicos Estabilidad."— Transcripción de la presentación:

1 Sistemas dinamicos Estabilidad

2 Contenido Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia Estabilidad interna de los sistemas lineales Lyapunov y la estabilidad de sistemas lineales Estabilidad externa de los sistemas lineales

3 Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia

4 La matriz de transicion
Por definicion la matriz de transicion es Entonces, utiliza la matriz Por lo tanto, cada elemento de la matriz de transicion contendra el polinomio caracteristico en el denominador

5 Ejemplo Considere la matriz A del sistema masa-resorte -amortiguador:
Entonces, polinomio caracteristico de A

6 La matriz de transicion
Volviendo con la matriz de transicion, se tiene entonces, En donde cada elemento de la matriz Adj{sI - A} es de orden menor o igual a n-1 y el escalar det{sI - A} es de orden n. Por lo tanto, cada elemento de esta matriz puede escribirse, Expansion en fracciones parciales

7 Elementos de la matriz de transicion
Al obtener el laplace inverso los elementos de la matriz de transicion toman la forma Los valores s1, s2, …, son también por definición los valores propios λi de A. Se puede concluir que: La matriz de transición de A tiene exponenciales cuyos exponentes están formados por los valores propios de A Los valores propios son también conocidos como los modos caracteristicos del sistema

8 Descomposicion en los componentes modales
Ejemplo: Respuesta impulsiva de un sistema LTI, con λ’s distintos La señal de salida es muy complicada La solucion se puede descomponer en sus componentes modales

9 Valores propios de la matriz de transicion
Sea λi un valor propio de A y vi su respectivo vector propio. Entonces, Demostrar! Es decir, la matriz de transición tiene por vectores propios a vi y por valores propios

10 Una trayectoria particular
Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a Es decir, sólo el modo λi es excitado y la respuesta tiene la dirección de vi y con una magnitud dada por eλit

11 Una trayectoria particular
Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a Si los valores propios son complejos y conjugados, éstos tendrán asociados vectores propios complejos y conjugados. En este caso, la condición inicial deberá tomarse como:

12 Comportamiento de los modos
Valor propio correspondiente Parte real negativa Parte real cero Simples o repetidos con ma = mg positiva Re(l) Im(l )

13 Los modos en el plano complejo
Valores propios distintos Estable Inestable Im{l} Re{l} Marginalmente estable Semi-plano izquierdo (LHP) Semi-plano derecho (RHP) Valores propios repetidos Para r raices repetidas del valor de l, k = 0,…, r –1

14 Impacto de los modos característicos
La respuesta de entrada cero consiste de los modos característicos del sistema Sistema estable  modos característicos decaen de manera exponencial y eventualmente se hacen cero

15 Impacto de los modos característicos
Si la entrada tiene la forma de un modo característico, entonces el sistema respondera enérgicamente Si la entrada es muy diferente de los modos característicos, entonces la respuesta sera débil

16 Impacto de los modos característicos
Ejemplo: sistema escalar de primer-orden con el modo característico elt, condiciones iniciales cero, D = 0 Tres casos

17 Modos no observables El par (A,C) no es observable si y solo si para algún vector propio vk de A se cumple, Prueba: El par (A,C) es no obserbable si existe un estado no observable x*. Entonces Seleccionando el estado inicial

18 Modos no observables Prueba: Los vectores propios forman un base por lo tanto cualesquier vector x0 ≠ 0 (en particular si x0 es no observable) puede ser generado a partir de Asi, Dado que x0 ≠ 0, entonces algun ak ≠ 0, entonces

19 Modos no controlables El par (A,B) no es controlable si para algún vector propio wk de AT se cumple, Prueba: El par (A,B) es no controlable si existe un estado no controlable x*. Entonces Seleccionando el estado inicial Se dice que wk es un vector propio por la izquierda de A etc…

20 La descomposicion canonica y los modos
En terminos de los modos, en la descomposicion canonica se tienen entonces: Modos controlables y observables Modos controlables y no observables Modos no controlables y observables Modos no controlables y no observables

21 La descomposicion canonica y los modos
De la figura vemos que solo la parte controlable y observable del sistema determina la matriz transferencia. Unicamente los autovalores de la submatriz correspondiente a los estados del subsistema controlable y observable apareceran como POLOS de la funcion de transferencia

22 La descomposicion canonica
Por lo tanto la representacion en matriz tranferencia (representacion externa) no es necesariamente equivalente a la representacion en espacio de estados ( representacion interna).

23 La descomposicion canonica
El subsistema observable y controlable, tomado como realizacion de la funcion de transferencia del sistema, es una realizacion minima, puesto que no puede obtenerse otra realizacion de orden menor con la misma funcion de tranferencia.

24 Estabilidad interna de los sistemas lineales

25 El concepto de estabilidad
En general, la estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias cercanas a estados de equilibrio del sistema Para sistemas lineales, existe un solo estado de equilibrio aislado : el origen Los estados de equilibrio del sistema x = f(x) a son los puntos xe tales que f(xe) = 0.

26 El concepto de estabilidad
En un estado de equilibrio estable, la presencia de un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales tendra como resultado pequeñas modificaciones en su respuesta perturbada. Time

27 El concepto de estabilidad
Por otro lado, en un estado de equilibrio inestable cualquier perturbacion, por pequeña que sea, llevara a los estados a alejarse cada vez mas Time

28 Ejemplo El doble pendulo invertido (sistema no lineal)
Eq #1 Eq #2 Eq #3 Eq #4 Estabilidad de los puntos de equilibrio Eq #1 es estable Eq #3 es inestable Eq #2 and #4 son inestables, pero con algunos “modos” estables

29 Estabilidad interna de sistemas LTI
La estabilidad interna es un concepto especial de los sistemas lineales de la forma: Y la definicion de estabilidad interna se hace para cualquier solucion del sistema no forzado

30 Estabilidad en el sentido de Lyapunov
Definicion (Estabilidad en el sentido de Lyapunov). El (punto de equilibrio del) sistema es internamente estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable, si toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada. para toda solucion x(t), x(0) = x0

31 Estabilidad Exponencial
Definicion (Estabilidad Exponencial). El sistema es exponencialmente estable si existen constantes positivas  y  tales que toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada que ademas tiende al origen cuando para toda solucion x(t), x(0) = x0 Definicion: El sistema es inestable si no es estable

32 Ejemplo: estabilidad asintotica
En las graficas se muestra la dinamica de los estados como campos vectoriales -1 1 -0.5 0.5 x 2 -1 1 -0.5 0.5 x 2

33 Estabilidad de un punto de equilibrio
Asintoticamene estable si todas las condiciones iniciales cercanas convergen al punto de equlilibrio El punto de equilibrio es un atractor Inestable si algunas condiciones iniciales divergen del punto de equilibrio El punto de equilibrio es una fuente Estable si las condiciones iniciales cercanas permanecen cerca del punto de equilibrio El punto de equilibrio es un centro -1 1 -0.5 0.5 5 10 -1 1 -1 1 -0.5 0.5 5 10 -1 1 -1 1 -0.5 0.5 5 10 -1 1

34 Teorema de la estabilidad interna
El sistema es internamente inestable si algun autovalor de A tiene parte real positiva (pertenece al semiplano derecho del plano complejo). Prueba: en este caso, hay un valor propio con el correspondiente vector propio que da respuestas reales Claramente estas soluciones no estan acotadas cuando ya que

35 Teorema de la estabilidad interna
El sistema es asintoticamente estable si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real negativa (pertenecen al semiplano izquierdo del plano complejo). Prueba: Si todos los autovalores estan en entonces cualquier solucion sera una combinacion lineal de n funciones vectoriales de la forma Claramente estas soluciones tienden a cero cuando ya que Se dice que la matriz A es Hurwitz si todos sus autovalores tienen parte real negativa

36 Teorema de la estabilidad interna
El sistema estable en el sentido de Lyapunov si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real no positiva, y para aquellos con parte real cero (sobre el eje imaginario) su multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica. Prueba: Si todos los autovalores tienen parte real cero, y su multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica, entonces la solucion tiene la forma De no ser asi, mg < ma, y la solucion tiene la forma Es inestable

37 Lyapunov y la estabilidad de los sistemas lineales

38 Análisis basado de la estabilidad en la energía
Ejemplo: sistema masa-resorte-amortiguador Energía = Energía cinética + Energía potencial ¿Convergen las trayectorias al punto de equilibrio?

39 Análisis basado de la estabilidad en la energía
Si no existiese amortiguamiento (c = 0), la energía aplicada en t = 0 se conservaría en el sistema ya que no existiría disipación. Como consecuencia del amortiguamiento, la energía se disipa y las trayectorias van pasando por curvas de equi-energía de menor nivel hasta llegar al punto de equilibrio (el origen)

40 Análisis basado de la estabilidad en la energía
Al evaluar la función de energía a lo largo de una trayectoria de sistema, En este caso, la energia decae a cero, y cada variable de estado decae a cero cuanto el tiempo tiende a infinito

41 Los metodos de Lyapunov
Los metodos de Lyapunov permiten determinar la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explicitamente las soluciones Se basan en las propiedades de una función V(x) (función de Lyapunov ) de los estados del sistema V(x) es una funcion escalar real definida en una región acotada y cerrada en el espacio x que contiene al origen, tal que,

42 Teoremas de Lyapunov El punto de equilibrio x = 0 del sistema es estable en la región S al rededor del origen si: Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S Con (semidefinida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

43 Teoremas de Lyapunov El punto de equilibrio x = 0 del sistema es asintoticamente estable en la región S al rededor del origen si: Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S Con (definida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

44 Matrices definidas positivas
Una matriz cuadrada M es definida positiva si Es semidefinida positiva si El escalar xTMx es llamado una forma cuadratica Para todo x ≠ 0 Para todo x ≠ 0

45 Matrices definidas positivas
Una matriz simetrica M = MT es definida positiva si y solo si sus valores propioes λi > 0. (semidefinida ↔ λi ≥ 0) Prueba (→): Sea vi el vector propio para el i-esimo valor propio λi Entonces, lo cual implica λi > 0, Probar que eigenvalues positivos implica que la matriz es definida positiva.

46 Aplicación a los sistemas lineales
Sea un sistema lineal y una matriz definida positiva P, entonces es una funcion de Lypunov

47 Aplicación a los sistemas lineales
Sea un sistema lineal , probemos como funcion de Lypunov , entonces Observamos que es tambien una forma cuadrática en terminos de la matriz simétrica AT+PA. Por lo tanto, una condicion suficiente para estabilidad asintotica es la existencia de una matriz definida positiva P para la cual AT+PA es definida negativa

48 Teorema de Lyapunov Teorema: Para cualquier matriz definida positiva Q, la ecuacion de Lyapunov Tiene una unica solucion P, simetrica definida positiva, si y solo si todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa Prueba: ver texto

49 Estabilidad externa de los sistemas lineales

50 Estabilidad de entrada-salida
Definicion (Estabilidad de entrada- acotada/salida-acotada (BIBO)) Un sistema (A,B,C,D) es estable BIBO (entrada-acotada/salida-acotada) si toda entrada acotada produce una salida acotada, con condiciones iniciales nulas.

51 Estabilidad de entrada-salida
Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface Prueba: Sea la entrada u(t) acotada, |u(t)| ≤ k1 < ,  t ≥ 0. Entonces

52 Estabilidad de entrada-salida
Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface Prueba: Suponga que h(t) no es absolutamente integrable. Entonces, para un sistema causal, LTI, con u(t) = k1 > 0 and h(t) > 0, t ≥ 0, t  , y(t) no es acotada aunque u(t) sea acotada

53 Funcion de transferencia
Teorema: un sistema dinámico LTI SISO es BIBO estable si y solamente si cada polo de su funcion de transferencia H(s) esta colocado sobre el semiplano izquierdo del plano s Prueba: Sea H(s) una funcion racional propia de s, entonces cada polo localizado en s = - pi, pi > 0, tiene multiplicidad ni, tal que Absolutamente integrable

54 Relaciones entre estabilidad externa e interna
Evidentemente, cada polo de H(s) es un valor propio de A. Por lo tanto, si cada valor propio de A tiene parte real negativa, entonces todos los polos de H(s) estan en el semiplano izquierdo del plano s. Por lo tanto el sistema descrito por A es BIBO estable. Sin embargo, no todo autovalor de A aparecera como polo de H(s), ya que puede haber modos no observables o no controlables

55 Ejemplo Considere el sistema
El sistema es internamente inestable a causa del valor propio en  = 1!

56 Ejemplo Considere el sistema BIBO estable
Cancelacion de polos y ceros en el calculo de la funcion de transferencia La respuesta impulsiva es BIBO estable

57 Fuentes A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007 Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

58 FIN