Aporte de la Lógica a la Matemática Lógica Proposicional Lógica (concepto) La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.- Aporte de la Lógica a la Matemática De acuerdo al concepto anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-

Lógica Proposicional PROPOSICIÓN Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa. Por ejemplo: Hoy es lunes Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea: p, q, r, s, t, u V F

: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE Lógica Proposicional LOS CONECTIVOS LOGICOS Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:  Ó -: “NO” : “Y” : “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA  : SI Y SOLO SI ∆ : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Lógica Proposicional PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular. SIMPLE: p PROPOSICION COMPUESTA: p  q

TABLA DE VALORES DE VERDAD Lógica Proposicional TABLA DE VALORES DE VERDAD Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.- Cantidad de valores de verdad debe llevar una tabla O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:

Operaciones proposicionales Lógica Proposicional Operaciones proposicionales La Negación La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p ~ p V F F V Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

La disyunción o suma lógica Lógica Proposicional La disyunción o suma lógica La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q p: estudio q: veo TV V F V F V F p v q: estudio o veo TV Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-

La conjunción o producto lógico Lógica Proposicional La conjunción o producto lógico La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q p: estudio q: veo TV V F V F V F p  q: estudio y veo TV Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

El condicional o la implicación Lógica Proposicional El condicional o la implicación El condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F p: apruebo q: te presto el libro V F p  q: apruebo, entonces te presto el libro Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-

Condiciones necesarias y suficientes Lógica Proposicional Condiciones necesarias y suficientes p q p  q p condición SUFICIENTE para q (q si p) q condición NECESARIA para p (p sólo si q) V F V F V F

El bicondicional o la doble implicación Lógica Proposicional El bicondicional o la doble implicación El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q p: apruebo q: te presto el libro V F V F V F p  q: solamente si apruebo, te presto el libro Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

La diferencia simétrica Lógica Proposicional La diferencia simétrica La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p ∆ q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p ∆ q p: estudio q: veo TV V F V F F V p ∆ q: estudio o bien veo TV Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-

Tautología p q (pq)  [(pq)  (q p)] V V V F F V F F V F V V F V F Lógica Proposicional Tautología Definición Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.- Por ejemplo: p q (pq)  [(pq)  (q p)] V V V F F V F F V F V V F V F V F 1 1 3 2

Contradicción p q (p q)  - [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 Lógica Proposicional Contradicción Definición Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen Por ejemplo: p q (p q)  - [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 F F V 4 V F 1 V F 3 V F 2

Contingencia p q (p q) v [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 V F Lógica Proposicional Contingencia Definición Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen Por ejemplo: p q (p q) v [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 V F V F 1 V F 3 V F 2

LEYES LOGICAS p -(-p)  p V V V F F F V 2 1 Lógica Proposicional LEYES LOGICAS Una ley lógica es una proposición verdadera.- 1º) Involución La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición p -(-p)  p V F V F 2 V F V 1

p (p  p)  p V F V F 1 V 2º) Idempotencia de la conjunción Lógica Proposicional 2º) Idempotencia de la conjunción La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.- p (p  p)  p V F V F 1 V

p (p  p)  p V F V F 1 V 3º) Idempotencia de la disyunción Lógica Proposicional 3º) Idempotencia de la disyunción La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.- p (p  p)  p V F V F 1 V

p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F Lógica Proposicional 4º) Conmutatividad de la conjunción La conjunción es conmutativa p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F

p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F Lógica Proposicional 5º) Conmutatividad de la disyunción La disyunción es conmutativa p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F

p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1 Lógica Proposicional 6º) Asociatividad de la conjunción La conjunción es asociativa p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1

p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1 Lógica Proposicional 7º) Asociatividad de la disyunción La disyunción es asociativa p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 8º) Ley de De Morgan (de la conjunción) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.- p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2

p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2 Lógica Proposicional 9º) Ley de De Morgan (de la disyunción) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.- p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2

p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) Lógica Proposicional 10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción La conjunción es distributiva con respecto a la disyunción p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 1 V F 3 V F 2

p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) Lógica Proposicional 11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunción La disyunción es distributiva con respecto a la conjunción p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 1 V F 3 V F 2

p  q q  p -p  -q -q  -p Recíprocas Contrarias Contra - recíprocas Lógica Proposicional 10º) Las implicaciones asociadas p  q Directa q  p Recíproca -p  -q Contraria -q  -p Contra - recíproca p  q Recíprocas q  p Contrarias Contra - recíprocas Contra - recíprocas Contrarias Recíprocas -p  -q -q  -p

p q p  q  -q  -p V F V F V F 1 V F V 1 V F 3 F V 2 Propiedad Lógica Proposicional Propiedad Las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes. O sea que: p q p  q  -q  -p V F V F V F 1 V F V 1 V F 3 F V 2

11º) Negación de una implicación Lógica Proposicional 11º) Negación de una implicación La siguiente proposición es una tautología, o sea: p q (p  q)  -(p  -q) V F V F V F 1 V V F 3 F V 2 F V 1 Ahora: -(pq)  -[-(p  -q)  p  -q Pero: -(pq)  -[-(p  -q)  -(-p  q) Ahora: (pq)  -(p  -q)  -p  q

12º) La doble implicación y la implicación Lógica Proposicional 12º) La doble implicación y la implicación La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. p q (p  q)  [(pq)  (qp) V F V F 2 V F V F 1 V V F 1 V F 3

13º) La diferencia simétrica y la doble implicación Lógica Proposicional 13º) La diferencia simétrica y la doble implicación La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. p q (p  q)  - (p  q) V F V F F V 1 V F V 2 V F 1