Números Complejos Prof. Isaías Correa M.

Objetivos: Definir unidad imaginaria. Conocer y simplificar potencias de i. Definir el conjunto de los números complejos. Operar con los números complejos.

Definición:Los Números Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real. Este conjunto se representa por I Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

Entenderemos como Unidad Imaginaria a: Definición: Entenderemos como Unidad Imaginaria a: La que se conoce como Raíz Imaginaria. Nota:

Números Imaginarios Luego:

E inventaron un número cuyo cuadrado es -1 después del año 1777, Euler lo denominó con la letra “i”.

POTENCIAS DE I: 1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de la división. 2. luego para simplificar use; 3. Sí Este último resultado hace que las potencias de “i” solo tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1

Ejemplos:

Calcule las siguientes raíces: Raíces pares de Números Negativos Calcule las siguientes raíces:

Números Complejos Hallar los números reales que verifican que la suma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, es igual a cero. En símbolos:

Números Complejos Al resolver la ecuación obtenida, nos damos cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en este conjunto, es decir que no existe ningún número real que resuelva este problema. (Sin solución real)

Números Complejos Para que la ecuación anterior tenga solución, los matemáticos buscaron una ampliación del conjunto de los Números Reales (IR). A este Conjunto se definió como los Números Complejos:

© copywriter Sus características son: i) Los números reales y los imaginarios están incluidos en el conjunto ampliado. ii) Las propiedades del conjunto real se siguen cumpliendo en el conjunto ampliado.

Números Complejos Se llama número complejo a un número “z” que puede escribirse de la forma a y b son números reales Al número a se le llama parte real (a=Re[z]) Al número b se le llama parte imaginaria (b=Im[z])

IGUALDAD DE NÚmeros Complejos: Dos Números complejos son iguales si y sólo si, tienen igual parte real e igual parte imaginaria si Entonces: Ó sí a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

Ejemplos de Números Complejos:

Ejemplo: Determine el valor de y de si

Operaciones con Números Complejos

Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.

La División se hace multiplicando por el conjugado del denominador. (similar a la racionalización)

Ejercicios: Resuelve la operación indicada.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Para representar un número complejo, de la forma se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical. Obs:

Ejemplos:

Módulo de un Complejo: Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo. El módulo de un número complejo está definido como: Ejemplo: