LAS CONICAS CUANDO SE INTERCEPTA UN PLANO Y UN DOBLE CONO INVERTIDO, SEGÙN EL ÀNGULO DE CORTE, SE ORIGINA UNA SECCIÒN EN EL SÒLIDO, ESTE PUEDE SER UNA CIRCUNFERENCIA, PARÀBOLA, ELIPSE O HIPERBOLA.

COMENCEMOS CUANDO EL PLANO SE ENCUENTRA EN FORMA HORIZONTAL, AL INTERCEPTAR AL CONO LO CORTARA FORMANDO UNA SECCIÒN LAMADA CIRCUNFERENCIA. EL PLANO PUEDE DESLIZARLO PARALELAMENTE A TRAVES DEL SÒLIDO Y SIEMPRE EL CORTE SERÀ UNA CIRCUNFERENCIA

EL PLANO COMIENZA A FORMAR UN ÀNGULO EN SENTIDO ANTIHORARIO, EL CORTE SECCIONAL SE CONOCE COMO ELIPSE

EL PLANO CORTA POR LA BASE AL CONO EN UN ÀNGULO MENOR A 90º APARECE LA SECCIÓN CÓNICA LLAMADA PARÁBOLA

EL PLANO INTERCEPTA A AMBOS CONOS POR LA BASE FORMANDO UN ÀNGULO DE 90º Y APARECE LA SECCIÓN CÓNICA LLAMADA HIPÉRBOLA Así como en los otros casos, el plano se puede mover paralelamente y seguir mostrando una hipérbola

FORMACIÒN DE LA CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico formado por todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es una constante a la cual denominamos radio. y (𝒙,𝒚) 𝑩 (h,k) 𝑨𝑩 =𝑩−𝑨 = 𝒙,𝒚 −(𝒉,𝒌) 𝑨 = 𝒙−𝒉,𝒚−𝒌 x 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠= (𝑥−ℎ) 2 + (𝑦−𝑘) 2 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜= (𝑥−ℎ) 2 + (𝑦−𝑘) 2 16= (𝑥−3)² +(𝑦−4)² Ecuación ordinaria (𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜) 2 = (𝑥−ℎ) 2 + (𝑦−𝑘) 2

¿Halle la Ecuación de la circunferencia canónica de radio 5? 𝑥−1 2 + 𝑦−3 2 =25 𝑥 2 + 𝑦−5 2 =4 𝑥+2 2 + 𝑦 2 =16 𝟑 𝟓 𝟏 −𝟐 𝑥+2 2 + 𝑦−4 2 =9 𝑥 2 + 𝑦 2 =8 Ecuación Canónica 𝟒 −𝟐 ¿Halle la Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (6,-3) y radio 7? (𝒙−𝟔) 𝟐 + (𝒚+𝟑) 𝟐 = 𝟒𝟗 ¿Halle la Ecuación de la circunferencia canónica de radio 5? 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 =𝟐𝟓

¿Es una circunferencia? (𝒙−𝟑) 𝟐 + (𝒚−𝟐) 𝟐 =𝟒 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟗+ 𝒚 𝟐 −𝟒𝒚+𝟒=𝟒 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 −𝟔𝒙−𝟒𝒚+𝟗=𝟎 Ecuación General 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙+𝟔𝒚+𝟗=𝟎 ¿Es una circunferencia? 𝒙 𝟐 +𝟖𝒙+ 𝒚 𝟐 +𝟔𝒚+𝟗=𝟎 (𝒙+ ) 𝟐 𝟒 −𝟏𝟔 + (𝒚+ ) 𝟐 𝟑 −𝟗 +𝟗=𝟎 −𝟒 (𝒙+𝟒) 𝟐 + (𝒚+𝟑) 𝟐 =𝟏𝟔 −𝟑 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙+𝟔𝒚+𝟐𝟓=𝟎 (𝒙+𝟒) 𝟐 −𝟏𝟔+ 𝒚+𝟑 𝟐 −𝟗+𝟐𝟓=𝟎 −𝟒 (𝒙+𝟒) 𝟐 + (𝒚+𝟑) 𝟐 =𝟎 −𝟑 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙+𝟔𝒚+𝟐𝟔=𝟎 (𝒙+𝟒) 𝟐 −𝟏𝟔+ 𝒚+𝟑 𝟐 −𝟗+𝟐𝟔=𝟎 (𝒙+𝟒) 𝟐 + (𝒚+𝟑) 𝟐 =−𝟏 No existe una circunferencia

FORMACIÒN DE LA PARÀBOLA Recta Directriz Q Recta Directriz L Q 𝑄𝐹 F Foco Distancia de Q a F = 𝑸𝑭 = Distancia de Q a la recta Directriz La distancia de Q a F es igual a la distancia de Q a la recta L ; el cociente entre estas distancias es la característica principal de una cónica llamada Excentricidad en este caso el valor es 1. Al cociente entre estas distancias se le llama excentricidad 𝑒= 𝑄𝐹 𝑄𝑙 = 1

Generación de la Parábola y sus características Recta Directriz A Recta Directriz Características: 1.- Las rectas Directriz y eje Focal son ortogonales. 2.- El Vértice es el punto medio entre el Foco y la Recta Directriz. 3.- El lado Recto pasa por el Foco y es ortogonal al eje Focal. Lado Recto MN Lado Recto 2P 2p Vértice P Foco Eje Focal P Principales Características: 1.- El vértice es el punto medio entre el Foco y la Recta Directriz. 2.- La Distancia del Vértice al Foco ò a la recta Directriz se llama Parámetro(P) 3.- La medida del lado recto es 4 P V = Vértice F = Foco P = Parámetro e= Excentricidad = 1 B

Su Ecuación General es Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx +Ey + F = 0 Es la Ecuación de cualquier cónica Y Eje Focal M Eje Focal Recta Directriz F Recta Directriz P F Lado Recto V V N X X Para identificar a cualquier cónica Representa a cualquier cónica 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙𝒚+ 𝒚 𝟐 −𝟒𝒙+𝟔𝒚−𝟖=𝟎 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 −𝟐𝒙+𝟓𝒚+𝟑=𝟎

¿Cuál podría ser una circunferencia? Condición: 𝑎. 3𝑥+2𝑥²−5𝑦–2𝑦²+8=0 1.- Deben estar ambas variables cuadráticas: 𝑿² , 𝒀² 𝑏. 4𝑥+5𝑥²−5𝑦+2𝑦²+8=0 2.- Deben tener el mismo signo: 𝑿²+𝒀² ; −𝑿²−𝒀² 𝑐. 5𝑥−𝑥²−5𝑦–5𝑦²+8=0 𝑑. 6𝑥+2𝑥²−5𝑦+8=0 3.- Deben tener el mismo coeficiente: 𝟓𝑿²+𝟓𝒀² ; −𝟐𝑿²−𝟐𝒀² ¿Cómo reconocer una Parábola? “Basta que no se encuentre una de las variables cuadráticas” 6x + 2x² - 5y + 8 = 0

(x-h)² = 4P (y – k) y X² - 4x - 8y + 12 = 0 X² - 4x = 8y - 12 F (x - 2)² - 4 = 8y - 12 (x - 2)² = 8y - 8 1 (x - 2)² = 8( y - 1) x 2 (x-h)² = 4P (y – k) V = (h, k) 4P = 8 y Y² +6y +12x -15 = 0 Y² +6y = - 12x +15 (Y + 3)² - 9 = - 12x +15 x (Y + 3)² = - 12x + 24 2 F (Y + 3)² = - 12( x - 2) -3 ( Y – k)² = 4P (x – h) V = (2,-3) 4P = 12

Ecuaciones Modificadas (𝒀−𝒌)² = 𝟒𝒑 (𝑿−𝒉) (𝑿−𝒉)² = 𝟒𝒑 (𝒀−𝒌) 𝟒𝒑 > 𝟎 𝟒𝒑 > 𝟎 𝟒𝒑 < 𝟎 𝟒𝒑 < 𝟎

RECEPTOR

EL OBSERVATORIO DE ARECIBO (PUERTO RICO)

LA ELIPSE Es el lugar geométrico generado por 2 puntos estáticos llamados focos de la elipse y que cumplen la siguiente propiedad: Si toma un punto cualquiera del espacio y calcula la suma de las distancias de este punto a cada foco, este valor pasa ser una constante, luego cualquier otro punto que cumpla con este valor es un punto de la Elipse Recta Directriz L Q F1Q + F2Q = 2a F1 F2 Distancia de QF1 Distancia de QL e = A pesar de esta característica el punto más importante es la excentricidad, calculada como el cociente entre la distancia del Punto Q a un foco y la distancia del punto Q a una recta directriz , cuyo valor se encuentra entre 0 y 1. (0<e<1)

Generación de la Elipse Recta Directriz B1 Eje Menor Q a b Eje Mayor F1 F2 c V1 V2 C=(h,k) a B2 Datos importantes: Los Ejes son ortogonales El centro es punto medio de los Focos y punto medio de los Vértices Se cumple que a2 = b2 + c2 , por lo tanto la distancia de un Foco a un extremo del Eje menor es “a” La Excentricidad es e = c/a Principales características: C = (h,k) centro de la Elipse F1 ,F2 = Focos V1 ,V2 = Vértices a = Distancia del centro a cualquier Vértice c = Distancia del centro a cualquier Foco b = Distancia del centro a cualquier extremo del eje menor

L2 Y V2 B1 F2 L1 (h,k) F1 X B2 V1 Como cualquier otra cónica, su posición real puede ser en cualquier cuadrante y su ecuación general debe transformarse de manera que sea fácil de identificar

Se cumple: a²=b²+c² La distancia del Centro a cualquier Lado del eje Menor es “b” B₁ La distancia del Centro a cualquier Foco es “c” b c F₁ F₂ V₁ V₂ (h,k) a La distancia del Centro a cualquier Vértice es “a” B₂ F₁ ,F₂ = Focos V₁ ,V₂ = Vértices (eje mayor) B₁ ,B₂ = Eje menor (h,k) = Centro de la Elipse

¿Cómo reconocer una circunferencia? Condición: 1.- Deben estar ambas variables cuadráticas: 𝑿² , 𝒀² 𝑎. 3𝑥+2𝑥²−3𝑦–2𝑦²+1=0 𝑏. 4𝑥+2𝑥²−5𝑦+2𝑦²+8=0 2.- Deben tener el mismo signo: 𝑿²+𝒀² ; −𝑿²−𝒀² 𝑐. 5𝑥−2𝑥²−5𝑦–5𝑦²+8=0 3.- Deben tener el mismo coeficiente: 𝟐𝑿²+𝟐𝒀² ; −𝟐𝑿²−𝟐𝒀² 𝑑. 6𝑥+2𝑥²−5𝑦+8=0 ¿Cómo reconocer una Parábola? Condición: 1.- Debe estar solo una variable cuadrática: 𝑿² ó 𝒀² ¿Cómo reconocer una Elipse? Condición: 1.- Deben estar ambas variables cuadráticas: 𝑿² , 𝒀² 2.- Deben tener el mismo signo: 𝑿²+𝒀² ; −𝑿²−𝒀² 3.- Deben tener diferente coeficiente: 𝟐𝑿²+𝟓𝒀² ; −𝟐𝑿²−𝟓𝒀²

Ecuaciones Modificadas y y 𝒗₂ B₁ f₂ f₁ f₂ 𝒗₁ 𝒗₂ (𝒉,𝒌) B₁ B₂ (𝒉,𝒌) x x B₂ f₁ 𝒗₁ ( x-h )² ( y-k )² + = 1 a² b² ( x-h )² ( y-k )² + = 1 b² a²

¿Es una Elipse? 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙+𝟔𝒚+𝟗=𝟎 Ecuación General 𝟐𝒙 𝟐 +𝟖𝒙+ 𝒚 𝟐 +𝟔𝒚+𝟗=𝟎 (𝒙+𝟒) 𝟐 𝟒 + 𝒚+𝟑 𝟐 𝟖 =𝟏 𝟐(𝒙 𝟐 +𝟒𝒙)+ 𝒚 𝟐 +𝟔𝒚+𝟗=𝟎 𝟐{(𝒙+ ) 𝟐 𝟐 −𝟒} + (𝒚+ ) 𝟐 𝟑 −𝟗 +𝟗=𝟎 𝟐(𝒙+𝟒) 𝟐 −𝟖+ 𝒚+𝟑 𝟐 −𝟗+𝟗=𝟎 𝟐(𝒙+𝟒) 𝟐 + 𝒚+𝟑 𝟐 =𝟖 −𝟒 𝟐(𝒙+𝟒) 𝟐 𝟖 + 𝒚+𝟑 𝟐 𝟖 =𝟏 −𝟑 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙+𝟔𝒚+𝟏𝟕=𝟎 𝟐 (𝒙+𝟒) 𝟐 −𝟖+ 𝒚+𝟑 𝟐 −𝟗+𝟏𝟕=𝟎 −𝟒 𝟐(𝒙+𝟒) 𝟐 + (𝒚+𝟑) 𝟐 =𝟎 −𝟑 𝟐𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 +𝟖𝒙+𝟔𝒚+𝟏𝟖=𝟎 𝟐(𝒙+𝟒) 𝟐 −𝟏𝟔+ 𝒚+𝟑 𝟐 −𝟗+𝟏𝟖=𝟎 𝟐 (𝒙+𝟒) 𝟐 + (𝒚+𝟑) 𝟐 =−𝟏 No existe una Elipse

LITOTRIPTOR

LA HIPERBOLA Es generada por 2 puntos estáticos denominados Focos, cualquier punto del espacio que cumpla la condición de la distancia de este punto a un foco menos la distancia de este punto a otro foco en valor absoluto es una constante. Cualquier otro punto que cumpla con este valor es un punto de la Hipérbola. Q Recta Directriz Excentricidad =QF1/QL F2 F1 Distancia de QF1 - Distancia de QF2 = Constante La formación es igual a las anteriores cónicas considerando a la Excentricidad, es decir que la distancia del punto al foco entre la distancia de este punto a la recta directriz es una constante mayor a 1. Observe la posición de la directriz y el foco.

GENERACIÓN DE LA HIPERBOLA Recta Directriz Asíntota de la Hipérbola Eje conjugado b c F1 V1 V2 F2 a Eje Transverso Se cumple por la misma posición de las distancias del centro que : c2= a2+b2 LA EXCENTRICIDAD SIGUE SIENDO e= c/a

Resumen de las ecuaciones de las cónicas Siempre busque las variables al cuadrado, de faltar una cualquiera, entonces se trata de una Parábola. Si tiene las dos variables al cuadrado y de signos diferentes, entonces se trata de una Hipérbola. Si tiene las dos variables al cuadrado y son los signos iguales, entonces observe los coeficientes. Si son iguales, podría ser Circunferencia. Si son diferentes podría ser Elipse. Recuerde: (x – h)2+ (y – k)2 = r2 (x – h)2 = 4p(y-k) ò (y – k)2 = 4p(x-h) (x – h)2 (y – k)2 = 1 (x – h)2 (y – k)2 = 1 - + a2 b2 a2 b2