FUNCIONES CIRCULARES
Introducción VIERNES 01-06-2007 Muchos fenómenos se pueden modelar como una función periódica. Algunos ejemplos de ellos son: VIERNES 01-06-2007
Introducción Electrocardiogramas: VIERNES 01-06-2007
Introducción Movimientos pendulares VIERNES 01-06-2007
Introducción Temperaturas diarias: VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo VIERNES 01-06-2007 Los angulos pueden ser medidos en radianes, grados sexagesimales, grados centesimales, etc. Para nuestros cálculos mediremos los ángulos en radianes, grados sexagesimales (De aquí en adelante lo llamaremos simplemente grados). VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo En grados: VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo En radianes: VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007 Equivalencia de ángulos: 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo a q GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007 Relación entre los sistemas de medición: a q GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo a q 360 2p VIERNES 01-06-2007 Relación entre los sistemas de medición: a q 360 2p VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007 Ejemplo: 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo 45º 45 q 360 2p GRADOS VIERNES 01-06-2007 Ejemplo: 45º 45 q 360 2p GRADOS VIERNES 01-06-2007
Como medir un ángulo (2p) (45) (90p) q (360) (360) p q 4 Ejemplo (2p) (45) (90p) q (360) (360) p q 4 VIERNES 01-06-2007
Ejercicios Encuentre el valor del ángulo 60º en radianes. Encuentre el valor del ángulo 120º en radianes. Encuentre el valor del ángulo 4p/3 en grados. Encuentre el valor del ángulo p/6 en grados. VIERNES 01-06-2007
Sistema coordenado rectangular Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano. VIERNES 01-06-2007
Sistema coordenado rectangular Este sistema, también llamado cartesiano, está formado por dos rectas perpendiculares entre sí. Las rectas son llamadas ejes de coordenadas. La intersección entre las rectas es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano. VIERNES 01-06-2007
Sistema coordenado rectangular ORIGEN R E C T A 1 VIERNES 01-06-2007
Sistema coordenado rectangular La RECTA 1 recibe el nombre de EJE X La RECTA 2 recibe el nombre de EJE Y. Eje y Eje x VIERNES 01-06-2007
Sistema coordenado rectangular ABSCISAS: ubicadas a la derecha y a la izquierda del eje Y, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente. ORDENADAS: ubicadas arriba y abajo del eje X, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente. VIERNES 01-06-2007
Sistema coordenado rectangular Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) Eje x TERCER CUADRANTE (III) CUARTO CUADRANTE (IV) VIERNES 01-06-2007
Angulo en posición normal Diremos que un ángulo esta en POSICION NORMAL si su vértice coincide con el origen de un sistema coordenado rectangular (Vértice del ángulo) y uno de sus lados esta sobre el lado positivo del eje x (Lado inicial del ángulo). El otro lado del ángulo lo denominaremos Lado terminal del ángulo. VIERNES 01-06-2007
Angulo en posición normal Eje x Eje y a LADO TERMINAL VERTICE LADO INICIAL VIERNES 01-06-2007
Angulo en posición normal Eje x Eje y a VERTICE LADO INICIAL LADO TERMINAL VIERNES 01-06-2007
Angulo en posición normal El lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo. Eje x Eje y En este ejemplo el ángulo pertenece al primer cuadrante. LADO TERMINAL a VIERNES 01-06-2007
Angulo en posición normal El lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo. Eje x Eje y En este ejemplo el ángulo pertenece al tercer cuadrante. a LADO TERMINAL VIERNES 01-06-2007
Generación de angulos P a VIERNES 01-06-2007 Dado un punto P en el plano, podemos generar un ángulo en posición normal. Eje x Eje y P En este ejemplo el ángulo pertenece al segundo cuadrante. a VIERNES 01-06-2007
Generación de ángulos a P VIERNES 01-06-2007 Dado un punto P en el plano, podemos definir un ángulo en posición normal. Eje y En este ejemplo el ángulo pertenece al cuarto cuadrante. a Eje x P VIERNES 01-06-2007
Generación de triángulos Dado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo. Eje x Eje y En este ejemplo el triángulo pertenece al primer cuadrante. P a VIERNES 01-06-2007
Generación de triángulos Dado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo. Eje x Eje y P En este ejemplo el triángulo pertenece al segundo cuadrante. a VIERNES 01-06-2007
Circunferencia unitaria ¿Se acuerdan de la ecuación de la circunferencia? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii !!! VIERNES 01-06-2007
Circunferencia unitaria Si la circunferencia tiene centro ( h , k ), y radio r , la ecuación es VIERNES 01-06-2007
Circunferencia unitaria Si la circunferencia tiene centro (0,0), y radio 1, la ecuación es VIERNES 01-06-2007
Circunferencia unitaria Eje y 1 Eje x VIERNES 01-06-2007
Ejercicios Convierta a radianes los siguientes ángulos: 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º LUNES 04-06-2007
Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Partes del DABC A C B HIPOTENUSA CATETO CATETO LUNES 04-06-2007
Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Notar que el ángulo a esta formado por un cateto y la hipotenusa A HIPOTENUSA CATETO C B LUNES 04-06-2007
Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Nota que el ángulo b esta formado por un cateto y la hipotenusa A HIPOTENUSA C B CATETO LUNES 04-06-2007
Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Notar que el ángulo recto esta formado “SOLO” por catetos. A CATETO C B CATETO LUNES 04-06-2007
Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Cateto adyacente y cateto opuesto A ANALICEMOS a HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE CATETO C B CATETO OPUESTO LUNES 04-06-2007
Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Cateto adyacente y cateto opuesto A ANALICEMOS b HIPOTENUSA CATETO OPUESTO C B CATETO ADYACENTE CATETO LUNES 04-06-2007
Definiciones Trigonométricas En el DABC rectángulo, definimos: LUNES 04-06-2007
Definiciones Trigonométricas En el DABC rectángulo, definimos: LUNES 04-06-2007
Ejemplo Encuentre el seno y coseno de a, según el DABC rectángulo: C B A 5 3 4 LUNES 04-06-2007
Ejemplo LUNES 04-06-2007 Por definición tenemos: El largo del cateto opuesto a a es 4 y el largo de la hipotenusa es 5. LUNES 04-06-2007
Ejemplo Finalmente: LUNES 04-06-2007
Ejemplo LUNES 04-06-2007 Análogamente, por definición tenemos: El largo del cateto adyacente a a es 3 y el largo de la hipotenusa es 5. LUNES 04-06-2007
Ejemplo Finalmente: LUNES 04-06-2007
Definiciones Trigonométricas En el DABC rectángulo, definimos: LUNES 04-06-2007
Definiciones Trigonométricas En el DABC rectángulo, definimos: LUNES 04-06-2007
Ejercicio Encuentre las seis definiciones trigonométricas para a y b en el DABC definido de la siguiente manera: A C B 3 4 5 LUNES 04-06-2007
Relación de Thales LUNES 04-06-2007 E D B C A D ABC 4 5 6 3
Relación de Thales D ABC B C A 10 8 6 LUNES 04-06-2007
Relación de Thales Analicemos el 10 8 6 D ABC B C A LUNES 04-06-2007
Relación de Thales LUNES 04-06-2007 E D B C A 4 5 3
Relación de Thales Analicemos el 4 5 3 E D B LUNES 04-06-2007
Ejercicio Realizar el análisis del para los triángulos definidos anteriormente. E D B C A LUNES 04-06-2007
Ejercicio MIERCOLES 06-06-2007 Encuentre las seis definiciones trigonométricas para a y b en el DABC definido de la siguiente manera: A C B 6 5 61 MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano La trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos. Todos las definiciones estarán basadas en las relaciones trigonométricas expuestas en clases anteriores. Solo trabajaremos con triángulos rectángulos definidos de la siguiente manera: MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano PRIMER CUADRANTE a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano SEGUNDO CUADRANTE a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano TERCER CUADRANTE MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano CUARTO CUADRANTE MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano La trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos. MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Cambios en el seno Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Cambios en el coseno Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES 06-06-2007
Ejercicio MIERCOLES 06-06-2007 Defina los cambios de signos para las definiciones trigonométricas restantes, en cada cuadrante. Complete la tabla. sen cos tg ctg sec csc I + II - III IV MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Cambios en la tangente Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Cambios en la cotangente Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Cambios en la secante Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Cambios en la cosecante Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Finalmente, la tabla queda de la siguiente manera. sen cos tg ctg sec csc I + II - III IV MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano sen cos tg ctg sec csc I + II - III IV MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano TODAS SIN TACOS TERCER CUADRANTE (III) CUARTO (IV) SEGUNDO (II) PRIMER (I) SIN TODAS TA COS MIERCOLES 06-06-2007
Ejercicio a MIERCOLES 06-06-2007 Encuentre todas las definiciones trigonométricas para el ángulo a. a - 3 2 (0,0) MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Dado el punto en el plano, P=(a,b), podemos generar un ángulo en estado normal (a) y un triangulo rectángulo. Luego, podemos encon-trar todas las definiciones trigonométricas para a. P b a a MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Encuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo a, si P=(6,3). P 3 a 6 MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano ¿Que sucede si el punto está en el segundo cuadrante? MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano q a (0,0) MIERCOLES 06-06-2007
Trigonometría en el plano Encuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo a, si P=(-3,2). P 2 a (0,0) - 3 MIERCOLES 06-06-2007