ESTRUCTURAS
Análisis Estructural B N 3 5 7 9 . 4 6 Barras y Nodos B + 3 = 2N
B + 3 = 2N De dónde viene esta serie???? Método de los nudos Nodo 1 T3 y T3 R1x x T1 1 1 2 R1y Nodo 2 Nodo 3 y y T2 T1 x x F R2y T3 T2
2N = B + 3 Agrupando ecuaciones isoestática Vector Fuerzas externas Se tienen 6 ecuaciones y 6 incógnitas, 2 ecuaciones por nodo y 3 reacciones 2N = B + 3 isoestática Vector Fuerzas externas Vector Fuerzas incógnitas Matriz Geométrica
2N = B + 3 Hiperestática 2N < B + 3 Mecanismo 2N > B + 3 Clasificación de las Estructuras 2N = B + 3 2N < B + 3 2N > B + 3 Isoestática Hiperestática Mecanismo N=6 B=9 N=6 B=10 2N = B + 3 2N < B + 3 N=4 B=4 2N > B + 3
Cálculo de estructuras hiperestáticas 1 2 3 Nodo 4 y 2 1 3 T2 T3 T1 x 4 F F Se tienen 2 ecuaciones y tres incógnitas d3 d1 d2 q Esta es la tercera ecuación Aplicando la Ley de Hooke se tiene
Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio se tiene: Escrito en forma matricial se tiene:
Vector Fuerzas externas Vector Desplazamientos incógnitas Matriz de Rigidez Se sabe que: Entonces se tiene:
METODO DE LA RIGIDEZ Caso Unidimensional Problema x k1 k2 k3 Modelo u1
Para cada elemento k1 u1 u2 U11 U12 k2 u2 u3 U22 U23 k3 u3 u4 U33 U34
Ensamblando Matrices Equilibrio en los nodos
Si hacemos k1= k2= k3=k tenemos
Aplicando condiciones de borde u1=0 y u4=0 se tiene:
Volviendo al problema u1=0 y u4=0 2F/3 2F/3
F/3 F/3 F/3 F/3
Generalizando se tiene Desplazamientos desconocidos Desplazamientos conocidos Fuerzas conocidas Fuerzas desconocidas
Resolviendo la primera fila se tiene Resolviendo la segunda fila se tiene
Estructuras en 2-D Elemento barra vj a ui vi uj x y Vi Ui Uj Vj
Modelo matemático
vj a ui vi uj x y Vi Ui Uj Vj Cómo determinamos K Aplico condiciones de borde dadas por: d u
Vi F d u Ui
Para las otras columnas se procede con las siguientes condiciones de borde
MATRIZ de RIGIDEZ en 2-D
Tarea: Determinar matriz de rigidez de elemento barra en 3-D x y z i j a b
Estructuras en 2-D Elemento Viga vj, Vj vi, Vi qj, Mj qi, Mi ui, Ui uj, Uj
Determinación de los coeficientes Observe que los GdL correspondientes a U, son los que cuantifican la tracción y compresión, además nunca producirán flexión. Por lo tanto hay una total independencia con las otras variables.
Determinación de los coeficientes Condiciones de borde dadas por: vi, Vi qi, Mi vj, Vj qj, Mj x Ecuaciones:
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
Condiciones de borde dadas por: vj, Vj vi, Vi qi, Mi x qj, Mj x Ecuaciones:
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
Condiciones de borde dadas por: vj, Vj vi, Vi qi, Mi x qj, Mj x Ecuaciones:
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
Condiciones de borde dadas por: vj, Vj vi, Vi qi, Mi x qj, Mj x Ecuaciones:
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
Matriz de rigidez Elemento Viga
Ejemplo: v3, Barra 3 u3, v2, u2, 1 45 2 Viga F v1, v2, 1.0m q2, u2, q1, u1,
Barra v3, u3, 135 v2, u2,
Viga v2, u2, v1, u1, q1, q2,
Ensamble de matrices
Aplicando condiciones de borde
F=10000 E=2.0x1011 Pa L= 1.0 m A=0.01 m2 Ab=0.001 m2 I=8.33x10-6 m4
Cambio de Coordenadas Viga u2, v1, u1, q1, q2, v2, q2, u2, v1, q1, u1,
Transformación de Coordenadas Y p Yp x y a xp yp a a Y0 X X0 Xp
Donde R es la matriz de rotación en 2-D X Y x y p a r0 rpL rp Si hacemos coincidir los orígenes de los sistemas coordenados tenemos Donde R es la matriz de rotación en 2-D Se puede ampliar a cualquier tipo de vector
Si se trata de fuerzas tenemos Observe que R es una matriz ortogonal, entonces su inversa es igual a la traspuesta. Por otra parte se tiene
Tarea: Determinar matriz de rigidez de elemento viga en 3-D j z y a i b x