Introducción al método de los elementos finitos aplicado al análisis estructural. Fundamentos del método y aplicación a barras traccionadas o comprimidas.

Presentación del tema: "Introducción al método de los elementos finitos aplicado al análisis estructural. Fundamentos del método y aplicación a barras traccionadas o comprimidas."— Transcripción de la presentación:

1 Introducción al método de los elementos finitos aplicado al análisis estructural.
Fundamentos del método y aplicación a barras traccionadas o comprimidas

2 Bibliografía recomendada:
El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis estructural. Manuel Vázquez, Eloísa López. Ed. Noela ISBN: Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis elástico lineal. Eugenio Oñate. Ed. UPC ISBN:

3 Características básicas del M.E.F.
Es una generalización del método matricial Discretiza la estructura en ELEMENTOS (trozos) Los elementos contienen puntos llamados NODOS (generalmente en los bordes) Los elementos que comparten nodos están unidos. En cada nodo tendremos unos determinados GRADOS DE LIBERTAD que definen el estado del mismo. Los grados de libertad en un análisis estructural simple (nuestro caso) se corresponden con DESPLAZAMIENTOS y/o GIROS de los nodos. OBJETIVO: conocer los resultados en los G.D.L. de los nodos para así saber cómo se deforma la estructura.

4 División en elementos finitos
Modelización: dividimos la estructura en elementos. Se consideran las cargas en los nodos (si no lo están, deben trasladarse a los nodos mediante simplificaciones) El método calcula de forma exacta resultados en los nodos. Los resultados intermedios se obtienen a partir de estos por aproximaciones. A mayor número de elementos mayor número de nodos y, por tanto, mayor precisión en el cálculo. En las zonas con cargas concentradas o donde se prevea concentración de tensiones se discretiza en un mayor número de elementos.

5 Tipos de elementos finitos
Nodo Elementos unidimensionales En estructuras son elementos tipo barra. Elementos bidimensionales En estructuras son elementos planos cuadrilaterales o triangulares. Elementos tridimensionales En estructuras son elementos tetraédricos, hexaédricos o prismáticos. Los nodos no tienen por qué estar solamente en los vértices. Puede haber en los lados y en el interior del elemento Esto implica más complejidad en el estudio del elemento En cada nodo puede interesarnos considerar uno o varios grados de libertad. Recordemos: los grados de libertad en problemas estructurales simples son desplazamientos y/o giros de los nodos. A menor número de G.D.L. más simple es el problema. Cuadrilateral Hexaédrico

6 Vector desplazamientos del elemento: {ue}
Los desplazamientos de las zonas situadas entre nodos se obtienen de forma aproximada. Para trabajar con dichos desplazamientos debemos: Escribirlos en función de los parámetros nodales (desplazamientos) en los grados de libertad de los nodos. Decidir cómo supondremos que varían esos desplazamientos en la zona entre nodos. La forma que seleccionemos irá implícita en una matriz llamada matriz de aproximación o matriz de funciones de forma [Ne] Así, conociendo el vector de los parámetros nodales o desplazamientos de los nodos del elemento {δe}: Matriz de funciones de forma del elemento Desplazamientos nodales del elemento Vector de desplazamientos del elemento

7 Funciones de forma Ni unidimensionales
Nodo1 Nodo2 Tomamos como ejemplo un elemento de longitud L que sólo puede estar sometido a tracciones o compresiones (barra biarticulada, p. ej.) Consideramos que los únicos grados de libertad son los desplazamientos axiales u1 y u2 (la barra sólo puede alargarse o acortarse). El desplazamiento axial u(x) de un punto cualquiera del elemento puede expresarse con una función de aproximación: u(x)=ax+b La elegida es una función lineal (polinomio de primer grado), pero puede haber otros casos en los que interese utilizar funciones cuadráticas (2º grado), cúbicas (3er grado), etc. Los coeficientes a y b de esas funciones de aproximación pueden escribirse dependiendo de u1 y u2. Ya que: u1=u(0) y u2=u(L) Elemento 1-2 u1 u2 L x u(x) Lineal : u(x)=ax+b Cuad. : u(x)=ax2+bx+c Cúb.: u(x)=ax3+bx2+cx+d

8 Funciones de forma Ni unidimensionales (II)
Cuando tenemos los coeficientes a, b de las funciones de aproximación escritos en función de los desplazamientos de los nudos u1, u2 puede escribirse la función de aproximación de desplazamientos u(x) como: A las funciones que van multiplicadas por los parámetros nodales (desplazamientos u1 y u2) se les llama funciones de forma. En este caso, son: N1=1-x/L N2=x/L Así, la función de aproximación de desplazamientos puede escribirse: u(x)=N1·u1+N2·u2 Lo que se puede escribir en forma matricial: Que es la expresión buscada: Vector de desplazamientos del elemento Matriz de funciones de forma del elemento Desplazamientos nodales del elemento = x

9 Interpretación gráfica de las funciones de forma
Las funciones de forma de un elemento son polinomios que tienen un valor unidad en el nodo correspondiente y un valor 0 en el resto. x 1 N1 L u1=1 u2=0 u(x) x 1 N2 L u1=0 u2=1 u(x) Las función de forma Ni determina cómo son los desplazamientos en un punto cualquiera del elemento (x) cuando el desplazamiento del nodo i es 1 y 0 el del resto de los nodos. En el ejemplo presentado usamos una función de aproximación lineal, es decir, se supone que el desplazamiento axial u de los puntos del elemento varía linealmente entre los nodos. Esto es exacto para elementos comprimidos o traccionados uniformemente. F

10 Funciones de forma de elemento cuadrático
Nodo1 Nodo3 Cuando un elemento tiene nodos entre los extremos decimos que se trata de un elemento de grado superior. Si continuamos con el caso simple de barras que sólo pueden estar sometidas a tracciones o compresiones, podemos pensar en un elemento con 3 nodos. Como se dijo, las funciones de forma de un elemento son polinomios que tienen un valor unidad en el nodo correspondiente y un valor 0 en el resto. Nodo2 Elemento 1-2-3 u1 u3 x3=L x x1=0 u(x) u2 x2=L/2 1 N3 L L/2 1 1 N2 N1 x x x L/2 L L/2 L Las funciones de forma pueden obtenerse mediante la siguiente aplicación de los polinomios de Lagrange: Es un polinomio de valor 1 en el nodo i y 0 en el resto de nodos

11 Funciones de forma de elemento cuadrático (II)
N1: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 1 y valor 0 en los nodos 2 y 3. N2: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 2 y valor 0 en los nodos 1 y 3. N3: buscamos un polinomio que tenga valor 1 en el nodo 3 y valor 0 en los nodos 1 y 2. Un elemento cuadrático como este implica que las deformaciones axiales varían de forma parabólica entre los nodos. Esta suposición es exacta en barras con carga axial distribuida uniformemente. 1 N1 L/2 L 1 N2 L L/2 1 N3 L L/2 R q  A Ejemplo: barra sometida a su peso propio. q=cte=A.

12 Funciones de forma de elementos de grado n-1
Si trabajamos con cargas aún más complejas en barras sometidas a tracciones y compresiones hay que utilizar elementos de grado superior. Ejemplo: Obtener las funciones de forma de un elemento lagrangiano de cuatro nodos. u1 u3 u2 L/3 u3 N1 L/3 L/3 Mediante los polinomios de Lagrange se obtienen funciones cúbicas. N2 N3 N4

13 Condición de polinomio completo de u(x)
Recordemos que: Las funciones de desplazamientos que se obtengan deben ser un polinomio completo (debe contener todos los términos de grado inferior). P. ej.: ax2+c no es polinomio completo, falta el término en x. P. ej.: ax3+cx+d no es polinomio completo, falta el término en x2. El grado de las funciones de desplazamientos es el grado de las funciones de forma Ni. Si se omite algún término puede que no se alcance la solución exacta aunque se utilice un polinomio de grado elevado. Vector de desplazamientos del elemento Matriz de funciones de forma del elemento Desplazamientos nodales del elemento = x

14 Obtención de la matriz de rigidez elemental [ke]
La matriz de rigidez para un elemento se obtiene aplicando: El Principio de los Trabajos Virtuales. (Ppio. Despl. Virt.) Las ecuaciones de Compatibilidad y Comportamiento. El Principio de los trabajos virtuales (PDV). Aplicación general: Tenemos un sistema real de fuerzas en equilibrio sobre el elemento: {Pe} aplicadas en los nodos {qe} distribuidas en su volumen {pe} distribuidas en su superficie. En ese sistema real habrá unas tensiones reales {} Consideramos un sistema virtual de desplazamientos compatibles con las condiciones del contorno: {δe}* desplazamientos nodales {ue}* desplazamientos entre nodos En ese sistema virtual habrá unas deformaciones virtuales * relacionadas con los desplazamientos. PTV Trabajo virtual externo=Trabajo virtual interno p  P q *

15 Obtención de [ke] (II): planteamiento del PTV
PTV Trabajo virtual externo=Trabajo virtual interno Trabajo virtual externo: las fuerzas externas reales realizan trabajo sobre desplazamientos virtuales. Usando las funciones de forma: {ue}=[Ne]{δe} Aplicando la relación ([a][b])T=[b]T[a]T {ue} T={δe}T[Ne]T , por tanto también: {ue*} T={δe*}T[Ne]T Trabajo virtual interno: las tensiones reales realizan trabajo sobre las deformaciones virtuales.  P p q *

16 Obtención de [ke] (III): condiciones [∂] y [D]
Uso de las condiciones de compatibilidad y comportamiento. Las condiciones de compatibilidad relacionan las deformaciones y los desplazamientos. Las simbolizaremos como [∂] Las condiciones de comportamiento son las que relacionan tensiones y deformaciones (leyes de Hooke en elasticidad). Las simbolizaremos como [D] Si aplicamos estas condiciones en el We(int) A [∂][Ne] le llamaremos matriz de deformación del elemento [Be] Y como: [Be]T=([∂][Ne])T= [Ne]T[∂]T

17 Obtención de [ke] (IV): ecuación final
Igualando trabajos externos e internos: Eliminando de los dos términos {δ*e}T: que es la ecuación matricial de equilibrio del elemento. Fuerzas en nodos MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO Desplazamientos en los nodos Fuerzas de volumen trasladadas a nodos Fuerzas de superficie trasladadas a nodos

18 Cálculo matricial Una vez obtenidas las matrices de rigidez elementales y trasladadas las fuerzas a los nodos se trabaja del mismo modo que en cálculo matricial de estructuras: Se han de pasar las matrices de los elementos y los vectores de fuerzas o desplazamientos a coordenadas globales. Se usa la matriz de rotación [R] para las submatrices de la matriz de rigidez. Se debe ensamblar la matriz de rigidez global [K0] uniendo las diferentes matrices elementales. Se resuelve el sistema de ecuaciones resultante. x y x' y’ 1 2 u’1 u’2  También se usa la matriz [R] para cambiar el sistema de referencia en vectores

19 Resumen del método Discretizar la estructura en elementos
Obtener la matriz de funciones de forma [Ne] Funciones que tienen valor 1 en el nudo correspondiente y 0 en el resto. Identificar las condiciones de Compatibilidad [∂]: que relacionan deformaciones y desplazamientos de los elementos. Comportamiento [D]: que relacionan tensiones y deformaciones. Ley de Hooke en casos elásticos. Obtener la llamada matriz de deformación del elemento [Be] Obtener la matriz de rigidez del elemento [ke] Pasar las matrices de rigidez elementales a coordenadas globales si es necesario Ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura. Obtener el vector de fuerzas {Fe} a través de las fuerzas en los nodos equivalentes a las cargas distribuidas de volumen qe o de superficie pe. Considerando los diferentes vectores de fuerzas elementales se obtiene el global {F0} Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos de los nodos y las reacciones.

20 Ej. de aplicación a barra comprimida (1)
Tenemos una barra con tres secciones diferentes sometida a una compresión P y a su peso propio (densidad ). Obtener la reacción correspondiente y el desplazamiento de los puntos donde hay cambio de sección. Discretizar en elementos. Tomaremos 3 elementos, uno para cada tramo (I, II y III). Obtener las funciones de forma. En este punto hay que tomar una decisión sobre el tipo de funciones de aproximación a usar. Si utilizamos funciones de aproximación lineales: P=2Ah A 2A 4A h  I II III x 1 N1 L u(x) x 1 N2 L u(x) Para un elemento, N2 es la función lineal de valor 0 en el 1er nodo y valor 1 en el 2º. Para un elemento, N1 es la función lineal de valor 1 en el 1er nodo y valor 0 en el 2º. Usando polinomios de Lagrange:

21 Ej. de aplicación a barra comprimida (II)
Identificar las condiciones de compatibilidad: [∂] como las barras sólo pueden sufrir deformaciones longitudinales, la única condición de compatibilidad que influye en nuestro problema es: Identificar las condiciones de comportamiento: [D] Como las barras sólo pueden tener tensiones y deformaciones en la dirección longitudinal las leyes de Hooke que definen el comportamiento se resumen en:

22 Ej. de aplicación a barra comprimida (III)
Obtener la matriz de deformación del elemento[Be] a partir de las condiciones de compatibilidad y las funciones de forma Obtener la matriz de rigidez del elemento[ke] a partir de la matriz anterior y la matriz de comportamiento Considerando una sección Ae y un material E constante para cada elemento, ambos salen de la integral. dVe=Aedx, así ya podemos integrar para la longitud L del elemento. Particularizando para cada uno de los tres elementos del modelo tenemos tres matrices elementales: I II III P=2Ah A 2A 4A h 

23 Ej. de aplicación a barra comprimida (IV)
4 I II III Pasar a coordenadas globales las matrices de rigidez elementales: en este caso no es necesario este paso puesto que en el problema planteado sólo nos interesa una coordenada que es la dirección del eje de la barra. 3 2 Ensamblar la matriz de rigidez total de la estructura: x 1

24 Ej. de aplicación a barra comprimida (V)
Obtener el vector de fuerzas equivalentes en cada elemento: se ensamblarán posteriormente obteniendo el vector de fuerzas nodales de toda la estructura. Reacción en el nodo 1 (incógnita) AeL/2 Fuerza puntual en el nodo 4 Puede observarse que cuando tenemos carga uniformemente repartida el total de las carga en cada elemento (AeL) se reparte por igual entre los nodos. Ae L AeL/2

25 Ej. de aplicación a barra comprimida (VI)
Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos de los nodos y las reacciones. Para resolver suele diferenciarse entre grados de libertad libres (en los que desconocemos el desplazamiento) y restringidos (donde desconocemos las reacciones). I II III 4(L) 3(L) 2(L) 1(R) De manera que si los desplazamientos de los grados de libertad restringidos son 0 (como en este caso). Se puede usar la matriz reducida de los grados de libertad libres [KLL] para obtener los desplazamientos nodales desconocidos {δL}. Una vez calculados los desplazamientos nodales incógnita se pueden calcular las reacciones.

26 Ej. de aplicación a barra comprimida (VII)
Una vez calculados los desplazamientos nodales incógnita se pueden calcular las funciones de desplazamiento que nos darán los desplazamientos para los puntos que no son los nodos de acuerdo a las funciones de forma: {ue}=[Ne]{δe}. Como en este caso calculamos las funciones de forma sólo para un elemento genérico cuyo primer nodo tenía una coordenada x=0 deberemos entender los resultados del mismo modo. Es decir, en x=0 estará el primer nodo y x=h estará el segundo nodo x x=0 x=h

27 Ej. de aplicación a barra comprimida (VIII)
Después de obtener las funciones de desplazamiento pueden obtenerse las tensiones aplicando las ecuaciones de compatibilidad y de comportamiento. x x=0 x=h Como antes, se considera para cada elemento que en x=0 está el primer nodo y x=h está el segundo nodo Tensiones x P=2Ah A 2A 4A h  I II III -1,75h -2h -2,5h Como vemos, en este caso utilizar funciones de forma lineales supone una simplificación que no da la solución exacta, puesto que intuitivamente se ve que las tensiones debieran ser variables en cada tramo debido al peso propio.

28 Estructuras articuladas:[ke]
x y x' y’ 1 2 u’1 u’2  Si en lugar de considerar únicamente barras aisladas sometidas a tracción y compresión consideramos una estructura de barras con nudos articulados y cargas en los nudos: Las barras sólo podrán tener esfuerzos normales (tracción o compresión) Cada barra puede discretizarse en un elemento de dos nodos si no hay cargas distribuidas sobre ellas. Como vimos en el ejemplo, la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales para el elemento con 2 grados de libertad longitudinales u será: Sin embargo, en la estructura articulada los nodos también pueden desplazarse en la dirección transversal (grados de libertad v), por tanto hay que añadir esos “huecos” en la matriz de rigidez en locales. x y x' y’ 1 2  u’2 v’2 u’1 v’1 La matriz de rigidez elemental debe ser de dimensión nxn siendo n el número de grados de libertad que se consideren en el elemento.

29 Estructuras articuladas: cambio de base.
x y x' y’ 1 2  u’2 v’2 u’1 v’1 Dado que en general no tiene por qué coincidir el sistema de referencia local de la barra con el global, habrá que cambiar de base la matriz de rigidez con ayuda de la matriz de rotación [R]. La matriz de rotación [R] es válida para cambios de referencia que impliquen 2 g.d.l. Por tanto, las submatrices correspondientes a nodos ij (de 2x2) se cambian de base usando [R] y [R]T Para cambiar de sistema de referencia la matriz de una barra completa con 2 nodos (4 g.d.l. ) debe utilizarse una matriz mayor (4x4): la matriz de cambio de base [L]. Así, la matriz elemental en coordenadas globales para una estructura articulada es:

30 PROBLEMA PROPUESTO La estructura de nudos articulados de la figura se ha discretizado en dos elementos (uno por barra). Sin embargo, para la barra inferior, que recibe una carga uniformemente distribuida de q N/m, se ha elegido un elemento de tres nodos (elemento I) mientras que para la superior se tomará un elemento más sencillo, de 2 nodos (Elemento II). Sobre el nudo que une las dos barras hay una carga P. El nodo intermedio del elemento I está en su punto medio. Ambas barras tienen una longitud L, un área de sección A y un módulo elástico del material E. Se pide: Obtener las funciones de forma de ambos elementos utilizando polinomios de Lagrange. Obtener las submatrices de la matriz de rigidez global que relacionan los g.d.l. del nodo 3 con ellos mismos [K33 ]y aquella que relaciona los g.d.l. del nodo 2 con los del nodo 4 [K24]. Obtener el vector de fuerzas nodales en coordenadas globales {F0} Explicar cómo se obtendrían los desplazamientos nodales {δ0} y las tensiones normales x P q 1 2 3 4 u3 v3 u2 v2 u1 v1 u4 v4 Elemento II Elemento I 60º E, A, L 60º