DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Bloque IV * Tema 172 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc. La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre de distribución binomial. En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos por éxito (E) y fracaso (F). Esta distribución queda caracterizada por: (1) El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse en dos únicas opciones que, como se ha dicho, llamaremos éxito (E) y fracaso (F). (2) Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. (3) La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y suele denotarse por p. P(E) = p Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q. P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p (4) La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: r = 0, 1, 2, ..., n Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, ..., ni. Tal variable binomial queda caracterizada por los parámetros n y p, y se escribe B(n, p) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo 1 En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. Es una experiencia dicotómica. P(E) = p =40/100 = 0,40 P(F) = q = 1 – 0,40 = 0,60 n= 30 veces que se repite el experimento. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(30, 0,30) Hay que hallar P(x=10) Notas importantes: El experimento se puede repetir un número de veces mayor que la cantidad de personas que hay. Podemos repetir el experimento 500, aunque hubiera sólo 3 personas en la reunión. Nos pueden pedir probabilidades tales como: P(“Que de las 30 veces que se ha repetido al menos en dos ocasiones halla sido hombre”) P(x ≥ 2) = P(x=2)+P(x=3)+…+P(x=30) O también: P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [ (P(x=0) + P(x=1) ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo 2 Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de … a) Que no cace ninguna pieza. b) Que cace 7 piezas. c) Que cace al menos 3 piezas. Es una experiencia dicotómica, pues acierta el tiro o falla el tiro. P(E) = p =0,65 P(F) = q = 1 – 0,65 = 0,35 n= 20 veces que se repite la experiencia de disparar. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(20, 0,65) a) P(x=0) b) P(x=7) c) P(x≥3) =P(x=3)+P(x=4)+…+P(x=20) P(x≥3) = 1 - P(x<3) = 1 – [ P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) ] Nota: Los cálculos necesarios para completar el ejemplo se ven más adelante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo 3 Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que … a) Ningún tornillo resulte defectuoso. b) Halla 37 tornillos defectuosos. c) Halla menos de 3 tornillos defectuosos. Es una experiencia dicotómica, pues cada tornillo examinado está defectuoso o no. P(E) = p =32/1000 = 0,032 P(F) = q = 1 – 0,032 = 0,968 n= 50 veces que se repite la experiencia, al examinar los 50 tornillos de la caja. La binomial queda caracterizada por B(n, p)  B(50, 0,032) a) P(x=0) b) P(x=37) c) P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) Nota: En este ejemplo, como en todos los demás, P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=n)=1 Por el Teorema de la Probabilidad Total, al ser los “n” sucesos independientes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Los experimentos o experiencias que quedan determinados por dos sucesos contrarios reciben el nombre de experiencias dicotómicas. En general, cualquier distribución de probabilidad discreta se puede reducir a una experiencia dicotómica: Ejemplo_1 Lanzamos un dado al aire. Hay seis sucesos posibles. Y cada suceso tiene su probabilidad (pi=1/6). Pero si lo que nos interesa es obtener un 6, reducimos los sucesos a dos: P(“Obtener un seis”) = 1/6 P(“No obtener un seis”) = 5/6 Y hemos convertido el experimento no dicotómico en dicotómico. P(E) = p=1/6 P(F) = q= 5/6 B(n, 1/6) Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera un 5 en lugar de un seis. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ejemplo_2 En una población conocemos: P(“Un habitante gane 0 € /mes”) = 0,25 P(“Un habitante gane 500 € /mes”) = 0,25 P(“Un habitante gane 1000 € /mes”) = 0,20 P(“Un habitante gane 1500 € /mes”) = 0,20 P(“Un habitante gane 2000 € /mes”) = 0,10 Si lo que nos interesa es que gane más de 1000 € /mes, reducimos la distribución de probabilidades discretas a una distribución binomial: P(“Un habitante gane más de 1000 € /mes”) = 0,20+0,10 = 0,30 P(“Un habitante no gane más de 1000 € /mes”) = 1 – 0,30 = 0,70 Y hemos convertido la experiencia no dicotómica en dicotómica. P(E) = p=0,30 P(F) = q= 0,70 B(n, 0,30) Donde n es la cantidad de veces que lanzamos el dado. Lo mismo haríamos si el resultado deseado (Éxito) fuera que ganara hasta 500 €. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS