CALCULO DE PROBABILIDADES

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1 CALCULO DE PROBABILIDADES
DÍA * 1º BAD CT CALCULO DE PROBABILIDADES

2 NÚMEROS COMBINATORIOS
Los llamados números combinatorios son una extensión de las Combinaciones. Así por ejemplo, no podemos formar combinaciones de 0 elementos, vemos que es absurdo. Pero en la práctica la fórmula o modo de obtenerles es la misma : m m! C m,n = ( ) = n n!.(m – n)! Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 m m Propiedades: A) ( ) = ( ) n m – n m m m + 1 B) ( ) + ( ) = ( ) n n n + 1

3 Ejemplos 5 5 Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 2
Propiedades: A) ( ) = ( ) 5! / 3!.2! = 5! / 2!.3!  10 = 10 7! / 3!.4! = 7! / 4!.3!  35 = 35 10! / 7!.3! = 10! / 3!.7!  120 = 120 Esta propiedad está presente en las distribuciones binomiales.

4 Ejemplos 5 5 6 Propiedad B) ( ) + ( ) = ( ) 2 3 3
Propiedad B) ( ) + ( ) = ( ) 5! / 3!.2! + 5! / 2!.3! = 6! / 3!.3!  = 720 / 36  20 = 20 B) ( ) + ( ) = ( ) 7! / 0!.7! + 7! / 1!.6! = 8! / 1!.7!  = 8.7! / 7!  8 = 8 B) ( ) + ( ) = ( ) 15! / 14!.1! + 15! / 15!.0! = 16! / 15!.1!  = 16  16 = 16

5 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Supongamos una distribución de probabilidad discreta que hemos reducido a binomial. B(n, p) Hay dos únicos sucesos posibles, éxito (E) y fracaso (F). Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y vale p. P(E) = p La probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q. La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: r = 0, 1, 2, ..., n ¿Cuántas subconjuntos de r elementos tiene un conjunto de n elementos?. El número combinatorio n sobre r. En otras palabras: Si se repite el experimento 20 veces (n = 20), ¿en cuántas ocasiones nos van a salir 7 veces el resultado deseado (r = 7)?. Pues el número combinatorio 20 sobre 7. 20 ( ) = 20! / 7!.(20-7)! 7

6 Probabilidad de r éxitos
En general: r n-r P(X = r)= k.p . q El parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. n k = ( ) = n! / r! . (n-r)! r En el ejemplo: P(X=2) = ( ).0,5 . 0,5 = 2 = 10.0,25.0,125 = 0,3125 Ejemplo visual: Lanzamos una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan dos caras?. CCXXX CXCXX CXXCX CXXXC XCCXX XCXCX XCXXC XXCCX XXCXC XXXCC Vemos que 10 veces.

7 Ejemplo Lanzamos una moneda al aire 20 veces.
¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,5 , que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p . q P(x =7) = k. (1/2) . (1 – ½) P(x =7) = C (1/2) . (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5 . 0,5 = 20 = , = 0,074

8 Otro Ejemplo Lanzamos un dado al aire 20 veces.
¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,167 , pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p . q P(x =7) = k. (1/6) . (1 – 1/6) P(x =7) = C (1/6) . (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0, , = 20 = , = 0,026

9 MEDIDAS ESTADÍSTICAS de una distribución binomial
MEDIA μ = n.p En nuestros ejemplos: μ = n.p = 20.0,5 = para la moneda μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado DESVIACIÓN TÍPICA σ = √(n.p.q) σ = √(n.p.q) = √ 20.0,5.0,5 = √5 = 2,24 para la moneda σ = √(n.p.q) = √ 20.0,167.0,833 = √2,77 = 1,67 para el dado

10 Ejemplo El 15% de las bombillas que produce una máquina dura menos de 100 horas. Se toman 4 bombillas al azar y se dejan encendidas. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 se fundan antes de 100 horas?. RESOLUCIÓN: n=4, pues se toman 4 bombillas. r=0 U r=1 U r=2 U r=3 , o también 1 – las 4 fundidas Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r 1 – P(X = r) = k.p . q 1 – P(x =4) = 1 – C . (0,15) . (1 – 0,15) 4 1 – P (x =4) = 1 – 1.1.0,854 = 1 – 0,5220 = 0,4780

11 Otro Ejemplo Una encuesta revela que el 80% de los usuarios del transporte público están satisfechos. Se eligen 10 ciudadanos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad de ellos estén descontentos?. RESOLUCIÓN: n=10, pues se toman 10 personas. r=5 , con p = 0,80 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r) = k.p . q P(x =5) = C . (0,80) . (1 – 0,80) 10 P (x =5) = ( / ).0,85 .0,25 = 36.0, , = 0,003775

12 Y otro Ejemplo Un examen tipo test consta de 10 preguntas, y cada pregunta tiene 3 posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Un alumno contesta al azar.¿Cuál es la probabilidad de que apruebe?. RESOLUCIÓN: n=10, pues se contestan las 10 preguntas. p = 1 / 3 , pues una de cada tres es la correcta. Luego, aplicando la fórmula de la binomial B(10, 1/3): P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X =7) + P(X = 8) + P(X = 9) + p(X = 10) También P(X ≥ 5) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =2) + P(X = 3) + P(X = 4)] P(X ≥ 5) = 1 – C10,0 . (1/3)0.(2/3)10 – C10,1 . (1/3)1.(2/3)9 – C10,2 . (1/3)2.(2/3)8 – – C10,3 . (1/3)3.(2/3)7 – C10,4 . (1/3)4.(2/3)6 = 1 – (2/3)10 – 10.(1/3)1.(2/3)9 – – 45. (1/3)2.(2/3)8 – 120.(1/3)3.(2/3)7 – 210. (1/3)4.(2/3)6 = = 1 – 0, – 0, – 0, – 0, – 0, = 0,212023