Resolver : 𝑦 (𝑦′) 2 − 𝑥 𝑦 2 +1 𝑦 ′ +𝑥𝑦=0…….(1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑝 Resolución: Haciendo Y reemplazando en la ecuación (1) 𝑦 𝑝 2 − 𝑥 𝑦 2 +1 𝑝+𝑥𝑦=0 o 𝑝 2 − 𝑥 𝑦 2 +1 𝑦 𝑝+𝑥=0 Resolviendo el polinomio de segundo grado, respecto a la variable p (𝑝− 𝑥 𝑦 2 +1 2𝑦 ) 2 − 𝑥 𝑦 2 +1 2 4 𝑦 2 +𝑥=0 Despejando la variable p 𝑝= 𝑥 𝑦 2 +1 2𝑦 ± 𝑥 𝑦 2 +1 2 4 𝑦 2 −𝑥 = 𝑥 𝑦 2 +1 2𝑦 ± 𝑥 2 𝑦 4 +2𝑥 𝑦 2 +1−4𝑥 𝑦 2 4 𝑦 2 Simplificando: p= 𝑥 𝑦 2 +1 2𝑦 ± 𝑥 2 𝑦 4 −2𝑥 𝑦 2 +1 (2𝑦) 2 = 𝑥 𝑦 2 +1 2𝑦 ± (𝑥 𝑦 2 −1) 2 (2𝑦) 2

𝑝= 𝑥 𝑦 2 +1 2𝑦 ± 𝑥 𝑦 2 −1 2𝑦 El polinomio tiene 2 resultados en la variable p: 𝑝=𝑥𝑦 𝑝= 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑥𝑑𝑥+𝑐 𝑦𝑑𝑦= 𝑑𝑥+𝑐 𝑙𝑛𝑦= 𝑥 2 2 +𝑐 𝑦 2 2 =𝑥+𝑐

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 −𝑦=0 o Resolver respecto a y: 𝑝𝑙𝑛𝑝−𝑦=0 Despejando la función incógnita: 𝑦=𝑓(𝑥,𝑝); 𝑝=𝑝(𝑥) 𝑦=𝑝𝑙𝑛𝑝…… 1 Derivar la ecuación (1), respecto a x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑙𝑛𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑝= 𝑑𝑝 𝑑𝑥 (𝑙𝑛𝑝+1) Separando Variables 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑝+1 𝑝 𝑑𝑝+𝐶 𝑑𝑥= 𝑙𝑛𝑝+1 𝑑𝑝 𝑥= (𝑙𝑛𝑝+1) 2 2 +𝐶 Por tanto; la solución General de la ecuación diferencial es: 𝑦=𝑝𝑙𝑛𝑝 𝑥= (𝑙𝑛𝑝+1) 2 2 +𝐶

Resolver respecto a y: 𝑦′ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ′ + 𝑦 ′ =𝑦 𝑦= 𝑝 2 𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑝……(1) Despejando la función incógnita: 𝑦=𝑓(𝑥,𝑝); Derivar respecto a x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 − 𝑝 2 𝑠𝑖𝑛𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑝= 𝑑𝑝 𝑑𝑥 (2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝− 𝑝 2 𝑠𝑖𝑛𝑝+1) Separando Variables 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+ 1 𝑝 𝑑𝑝 +𝐶 𝑑𝑥= 1 𝑝 2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝− 𝑝 2 𝑠𝑖𝑛𝑝+1 𝑑𝑝 𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶=𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶 Por tanto; la solución General de la ecuación diferencial es: 𝑦= 𝑝 2 𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑝 𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶

Resolver respecto a la variable y 3 𝑥 4 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 −𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 −𝑦=0 𝑦=3 𝑥 4 𝑝 2 −𝑥𝑝 Despejando la función incógnita: 𝑦=𝑓(𝑥,𝑝); Derivar respecto a x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =3 4 𝑥 3 𝑝 2 + 2𝑥 4 𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 −𝑝−𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑝=12 𝑥 3 𝑝 2 +6 𝑥 4 𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 −𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 −𝑝 2𝑝−12 𝑥 3 𝑝 2 =(6 𝑥 4 𝑝−𝑥) 𝑑𝑝 𝑑𝑥

Resolver la siguiente ecuación diferencial respecto a la variable P 𝑦′ 3 −𝑦 𝑦 ′ 2 − 𝑥 2 𝑦 ′ + 𝑥 2 𝑦=0 𝑝 3 −𝑦 𝑝 2 − 𝑥 2 𝑝+ 𝑥 2 𝑦=0 Factor izando, obtenemos: 𝑝 2 𝑝−𝑦 − 𝑥 2 𝑝−𝑦 =0 𝑝−𝑦 𝑝 2 − 𝑥 2 =0 Igualando a cero cada uno de los factores 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =±𝑥 𝑝−𝑦=0 𝑝 2 − 𝑥 2 =0 𝑝=𝑦 𝑝=±𝑥 Separando variables e Integrando: Por tanto la S.G. es: 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥+𝐶 𝑑𝑦=± 𝑥𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑦=𝑥+𝐶 𝑦=± 𝑥 2 2 +𝐶 𝑙𝑛𝑦−𝑥−𝐶 𝑦± 𝑥 2 2 −𝐶 =0

Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden y grado superior Resolución respecto a x 8𝑦 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 =−2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑦=0 Haciendo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑝 Y reemplazando en nuestra ecuación 8𝑦 𝑝 2 =−2𝑥𝑝+𝑦 Despejando la variable x; ya que es resolución respecto a X 𝑥= 𝑦−8𝑦 𝑝 2 2𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥=𝑓(𝑦,𝑝) Si observamos detenidamente, vemos que x es función de Y y P Además p es función de y, por tanto: 𝑝=𝑔(𝑦) En conclusión: la derivada del despeje de X debe ser respecto a la variable y 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1 2 1−8 𝑝 2 +2𝑦𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝−(𝑦−8 𝑦𝑝 2 ) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝 2

Ordenando la ultima expresión: 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 𝑝−8 𝑝 3 −16𝑦 𝑝 2 𝑑𝑝 𝑑𝑦 −(𝑦−8 𝑦𝑝 2 ) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑝 Reemplazando En la ultima expresión y factor izando 1 𝑝 2 𝑝 2 =− 16𝑦 𝑝 2 +𝑦−8𝑦 𝑝 2 𝑑𝑝 𝑑𝑦 +𝑝−8 𝑝 3 Simplificando y ordenando 𝑝+8 𝑝 3 =−(𝑦+8𝑦 𝑝 2 ) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝 1+8 𝑝 2 =−𝑦(1+8 𝑝 2 ) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 𝑝=−𝑦 𝑑𝑝 𝑑𝑦 Simplificando factores obtenemos: Separando Variables 𝑑𝑦 𝑦 =− 𝑑𝑝 𝑝 𝑑𝑦 𝑦 =− 𝑑𝑝 𝑝 +𝐶 Integrando miembro a miembro Por tanto la solución esta dada por 𝑙𝑛𝑦=−𝑙𝑛𝑝+𝑙𝑛𝐶 𝑙𝑛𝑦=𝑙𝑛 𝐶 𝑝 𝑝= 𝐶 𝑦 𝑦𝑝=𝐶

𝑝= 𝐶 𝑦 Reemplazando En nuestro problema 8𝑦 𝑝 2 =−2𝑥𝑝+𝑦 8𝑦 ( 𝐶 𝑦 ) 2 =−2𝑥 𝐶 𝑦 +𝑦 8𝑦 𝐶 2 𝑦 2 =− 2𝑥𝐶 𝑦 +𝑦 Multiplicando por Y y simplificando 𝑦 2 =8 𝐶 2 +2𝑥𝐶 Luego la solución General del problema es: 𝑦 2 =8 𝐶 2 +2𝑥𝐶

Resolver la siguiente ecuación diferencial , Respecto a la variable x 𝑙𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑝 Reemplazando 𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥=𝑓(𝑦,𝑝) En este despeje no existe la variable Y: Pero sabemos que esta de manera implícita Dentro de la variable P, es decir: 𝑝=𝑔(𝑦) Por tanto, debemos seguir la misma regla; es decir, debemos derivar respecto de y 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1 𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦 +𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =( 1 𝑝 +𝑐𝑜𝑠𝑝) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 1 𝑝 = 1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑦 Simplificando y Separando Variables

𝑑𝑦= 1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝 Integrando miembro a miembro 𝑑𝑦 = 1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝+𝐶 𝑦=𝑝+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶 La solución de la ecuación Dif. se puede mostrar en sus 2 formas paramétricas Dadas de la siguiente manera: 𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 𝑦=𝑝+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶

Resolver la siguiente ecuación Diferencial Respecto ala variable x 𝑥= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑝 Reemplazando 𝑥=𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥=𝑓(𝑦,𝑝) Derivando respecto a la variable Y 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =(1+𝑐𝑜𝑠𝑝) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 Modificando el primer miembro de la Ec. 1 𝑝 =(1+𝑐𝑜𝑠𝑝) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 Separando Variables 𝑑𝑦 = 𝑝 1+𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝+𝐶 𝑑𝑦=𝑝 1+𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝 Integrando 𝑦=𝑝 𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 − 𝑝 2 2 +𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶 𝑦= 𝑝 2 2 +𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶 Por tanto la S. G. 𝑥=𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 En su forma paramétrica Es: 𝑦= 𝑝 2 2 +𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶