Polinomios Definiciones

Expresión algebraica Irracional Racional Entera Fraccionaria monomio polinomio

Polinomio Se denomina así a una expresión algebraica racional entera. Ejemplos P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10 Q(x;y) = 5xy3 +10x R(x;y;z) = 2zy4 + 2x3 – xy2 + 8xz + z Todo polinomio puede constar de uno o más monomios

M(x) = 3x4 Q(x;y) = 5xy3 R(x;y;z) = -xy4z2 Monomio Es la expresión algebraica racional en la que se prevén solamente dos operaciones respecto a sus variables: multiplicación y elevación a la potencia natural. Ejemplos M(x) = 3x4 Q(x;y) = 5xy3 R(x;y;z) = -xy4z2

NOTACIÓN DE UN POLINOMIO Un polinomio en variable X y Y se puede representar así:   Se lee: “P de x e y” el cual significa: “P” depende de x e y Y además: x;y Son variables a,b,c Son constantes m,n,p,s Son exponentes

Casos de Polinomios 1) 2x + 3y4 2) -4a2b – b2c 3) 6x2 - 3x + 8 4) -x2yz + 3y - 5 BINOMIOS TRINOMIOS

Grados de un polinomio

Grado relativo con respecto a una variable (mayor exponente de la variable) GR(y)= 5 GR(z)= 8 GR(x)= 4

Grado absoluto de un polinomio (mayor grado absoluto de los términos) 8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2 GA = 10 GA = 8 GA = 3 GA = 10

Ejemplo 1 Si se sabe que el grado relativo a x es 5 halla: El valor de m El grado absoluto del polinomio Solución:        

Ejemplo 2 Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9 halla: n2 + 1 Solución: Por lo tanto:

Ejercicio 1 Si se sabe que el grado del polinomio es 11 halla: 3GR(x) - GR(y) Respuesta: 17

Polinomios especiales

CONCEPTO Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado, coeficientes y variables) y por la forma cómo se representan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen notables.

Polinomios especiales ordenado completo polinomio homogéneo idéntico opuesto nulo

Polinomio ordenado x4y3 + 2x2y5 – 3xy8 x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8 Polinomio ordenado respecto a “x” en forma decreciente Polinomio ordenado respecto a “y” en forma creciente. La variable que presenta esta característica se denomina ORDENATRIZ Ejemplo: La variable “x” es ordenatriz decreciente de P. La variable “y” es ordenatriz creciente de P.

Polinomio completo x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0 Polinomio completo con respecto a x. Es incompleto respecto a y x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5 x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

COROLARIOS COROLARIO 1: En todo polinomio completo de una variable, el número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en 1 Ejemplo: # de términos = G(P) + 1 # de términos = 4 + 1=5

COROLARIOS COROLARIO 2: En todo polinomio ordenado y completo de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad: Ejemplo:

Polinomio homogéneo 6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2 Un polinomio de dos o más términos y más de una variable es homogéneo, si dichos términos presentan el mismo grado absoluto, denominado grado de homogeneidad 6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2 GA = 8 GA = 8 GA = 8 Polinomio homogéneo de grado 8

Polinomios idénticos P(x) = ax3 + bx2 + c Q(x) = 2x2 +5x3 – 8 Si P y Q son idénticos, entonces a = 5; b = 2; c = -8 PQ

el polinomio opuesto de P es: Si P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8 el polinomio opuesto de P es: -P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8

Polinomio idénticamente nulo P(x) = ax3 + bx2 - c P(x) = ax3 + bx2 - c a = b = c = 0 P(x)  0

Ejercicio 1 Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio. Respuestas: 2abc = 160 GA = 2

Ejercicio 2 Si se sabe que el polinomio es idénticamente nulo, calcula el valor de -7(a+b+c+d) Respuesta: 84

Ejercicio 3 Si se sabe que el polinomio es homogéneo, calcula el valor de a – b. Respuesta: -1

PRACTICA Calcular la suma de los valores de “n” para los cuales la expresión es un polinomio: Para que valor o valores de “n” la expresión de las variables “x” y “y” es racional entera. Del polinomio: si el GA(P) =11; GR(x) – GR(y)=5. Hallar el valor de 2m+n. Determinar el valor de a + b si el polinomio: Es de grado 28 y la diferencia de grados relativos a: x e y sea igual a 6.

PRACTICA Hallar ab(a+b) si el polinomio: Es homogéneo Determinar la suma de coeficientes si el polinomio: Es completo y ordenado. De un polinomio Q(x,y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a x, se han tomado tres términos consecutivos que son: Obtener el GR(y) en el término M