5. Propiedades de Cierre de los lenguajes regulares 5.1. Introducción. 5.2. Cierre respecto a: 5.2.1 Intersección. 5.2.2 Unión. 5.2.3 Complementación. 5.2.4 Diferencia. 5.2.5 Reverso. 5.2.6 Concatenación. 5.2.7 Clausura. 5.2.8 Homomorfismos. 5.2.9 Homomorfismos inversos.

1. Introducción Un conjunto C es cerrado bajo  siix, y  C  x  y  C 2.1 Cierre respecto a Intersección L1, L2 regulares  L1 = L(A1), L2 = L(A2) con Ai = (Qi, , i, qi, Fi), i = 1, 2. Construimos A = (Q, , , q0, F) con: - Q = Q1 × Q2 - q0 = [q1, q2] - F = F1 × F2 - ([p1, p2], a) = [1(p1, a), 2(p2, a)],  p1  Q1 , p2  Q2 , a   Demostración. Veamos que L(A) = L1  L2 ([p1, p2], x) = [1(p1, x), 2(p2, x)],  [p1, p2]  Q,  x  * (inducción en longitud de x)

q1 q2 q1 q3 b a a b a a b q2  ([q1 , q1], a) = [q1 , q2] (Notación  (q11, a) = q12 )  ([q1 , q2], b) = [q2 , q3] (Notación  (q12, b) = q23 )  ([q2 , q3], a) = [q1 , q1] (Notación  (q23, a) = q11 ) q11 q23 a F = F1 × F2 = {q11, q12} a b q12

x  L(A)  (q0 , x)  F  ([p1, p2], x)  F   [1(p1, x), 2(p2, x)]  F1 × F2   1(p1, x)  F1  2(p2, x)  F2   x  L(A1)  x  L(A2)   x  L1  x  L2   x  L1  L2 2.2 Cierre respecto a Unión L1, L2 regulares  L1 = L(A1), L2 = L(A2) completos con Ai = (Qi, , i, qi, Fi), i = 1, 2. Construimos A = (Q, , , q0, F) con: - Q = Q1 × Q2 - q0 = [q1, q2] - F = F1 × Q2  Q1 × F2 - ([p1, p2], a) = [1(p1, a), 2(p2, a)],  p1  Q1 , p2  Q2 , a  

2.3 Cierre respecto a Complementación L1 regular  L1 = L(A1) completo con A1 = (Q1, , 1, q1, F1) Construimos A = (Q1, , 1, q1, Q1 - F1) -Veamos que L(A) = L(A1) x  L(A)  1(q1 , x)  Q1 - F1 1(q1 , x)  F1 x  L(A1) ( = L1) x  L1 2.4 Cierre respecto a Diferencia Viene de que L1 - L2 = L1  L2

2.5 Cierre respecto a Reverso L1 regular  L1 = L(A1) con A1 = (Q1, , 1, q1, F1 ={qf}). Se puede suponer que | F1 | =1, caso contrario... Si construimos A = (Q1, , , qf, {q1 }) con q  (p, a)  p  1(q, a) Se cumple que L(A) = Lr 2.6 Cierre respecto a Concatenación Construcción vista con AF

2.8 Cierre bajo homomorfismo. 2.9 Cierre bajo homomorfismo inverso. L1 regular  h-1(L1) regular  h :   * Dem. L1 regular  L1 = L(A1) con A1 = (Q1, , 1, q1, F1 ). Sea A = (Q1, , , q1, F1 ) con  (p, a) = 1(p, h(a)) si 1(p, h(a)) está definido. Se cumple que L(A) = h-1(L1)

L = L(A) h(0) = aa, h(1) = b, h(2) =  h-1(L) b q1 q4 a a a b q2 q3 a 0,2 2 1 h-1(L) q2 q3 2 2