POLIEDROS.

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1 POLIEDROS

2 POLIEDROS Un POLIEDRO RECTILÍNEO es un cuerpo tridimensional limitado por superficies planas que se denominan CARAS. Las ARISTAS del poliedro son los segmentos pertenecientes a la intersección de las caras. Los VÉRTICES del poliedro son los puntos de intersección de las aristas. Las DIAGONALES del poliedro son los segmentos no incluidos en ninguna cara. Un poliedro se denomina CONVEXO, si todas sus diagonales están en el interior del poliedro, y en caso contrario se denomina NO CONVEXO.

3 ELEMENTOS DE POLIEDROS
CARAS POLIEDRO CONVEXO POLIEDRO NO CONVEXO ARISTAS VÉRTICES DIAGONALES

4 Un POLIEDRO CURVILÍNEO es un cuerpo tridimensional limitado por superficies no necesariamente planas.

5 POLIEDROS ELEMENTALES.
PRISMA.- Poliedro que se obtiene mediante traslación de un polígono (base). Un prisma es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., dependiendo del polígono que lo genera.

6 PARALELEPÍPEDO. - Prisma cuyas bases son paralelogramos
PARALELEPÍPEDO.- Prisma cuyas bases son paralelogramos. En el caso de que sea un paralelepípedo recto, entonces sus seis caras son rectangulares y se denomina ORTOEDRO. Un CUBO es un paralelepípedo rectangular cuyas seis caras son iguales.

7 CALCULAR LA DIAGONAL DE UN PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR
¿Cómo calcular la longitud de la diagonal D de un Ortoedro de lados a, b y c?. d =  (a²+ b²) b c a D D =  (d²+ c²) b c d a d CALCULAR LA DIAGONAL DE UN PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

8 PIRÁMIDE.- Poliedro tal que todas sus caras, salvo una (base) son triangulares, y se juntan en un vértice común. Una pirámide se denomina triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., dependiendo del tipo de polígono que sea la base .

9 Dado un PRISMA de base un polígono de n lados:
ÁREA DE PRISMA. Dado un PRISMA de base un polígono de n lados: El ÁREA LATERAL = AL = ÁREA de las n áreas de los paralelogramos laterales del prisma. El ÁREA de la BASE = AB = ÁREA del polígono (de n lados) de la BASE. El ÁREA TOTAL = AT = AL AB

10 Dado el PRISMA Su desarrollado será: AL = 6 . (5 cm).(1 cm) = 30 cm²
EJEMPLO. Dado el PRISMA Su desarrollado será: AL = 6 . (5 cm).(1 cm) = 30 cm² 5 cm 5 cm 1 cm 1 cm 1 cm ½ cm

11 VOLUMEN DE PRISMAS. El VOLUMEN de cualquier PRISMA se obtiene multiplicando el ÁREA de la BASE del PRISMA, por la ALTURA. Ejemplo. 5 cm 2 cm 2 cm

12 ÁREAS Y VOLÚMENES DE PRISMAS.
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE PRISMAS PRISMA TRIANGULAR 1 ; PRISMA TRIANGULAR 2 PRISMA CUADRÁNGULAR ; PARALELEPÍPEDO 1 ; PARALELEPÍPEDO 2

13 FÓRMULA DE EULER PARA POLIEDROS CONVEXOS
Si denominamos por: C = Nº de caras de un Poliedro rectilíneo convexo. A = Nº de aristas de un Poliedro rectilíneo convexo. V = Nº de vértices de un Poliedro rectilíneo convexo. Se cumple la siguiente Fórmula de EULER: C – A + V = 2 Ejemplo: Si contamos las caras, aristas y vértices del siguiente poliedro, obtenemos: C = 12; A = 20; V = 10. Luego se cumple: C – A + V = 12 – = 2

14 POLIEDROS REGULARES. CONSTRUCCIÓN.
POLIEDRO REGULAR.- Poliedro que cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. Existen solamente 5 poliedros regulares convexos denominados SÓLIDOS PLÁTONICOS. Para poder construir los poliedros regulares, se tiene que cumplir: - El número de caras concurrentes en cada vértice debe de ser mayor o igual que 3  - La Suma de los ángulos que concurren en cada vértice ha de ser menor de 360º.

15 DENOMINACIÓN DE POLIEDROS REGULARES
V A C TETRAEDRO V = 4 A = 6 C = 4. OCTAEDRO V = 6 A = 12 C = 8. ICOSAEDRO V = 12 A = 30 C = 20. CUBO V = 8 C = 6. DODECAEDRO V = 20 C = 12.

16 Dada una PIRÁMIDE de base un polígono de n lados:
ÁREA DE PIRÁMIDE. Dada una PIRÁMIDE de base un polígono de n lados: El ÁREA LATERAL = AL = ÁREA de las n áreas de los triángulos laterales de la pirámide. El ÁREA de la BASE = AB = ÁREA del polígono (de n lados) de la BASE. El ÁREA TOTAL = AT = AL + AB

17 EJEMPLO. Dada una PIRÁMIDE de base un cuadrado de lado 2 cm. Y cuyo apotema de sus triángulos (altura de triángulos laterales) es de 5 cm. AB = 2 cm. 2 cm = 4 cm² 2 cm. 2 cm. 5 cm. AL = 4.(½ .( 2 cm. 5 cm)) = 20 cm² 5 cm. 2 cm. AT = AB + AL = 24 cm ²

18 VOLUMEN DE PIRÁMIDE. El VOLUMEN de cualquier PIRÁMIDE se obtiene multiplicando el (1/3) del ÁREA de la BASE de la PIRÁMIDE por la ALTURA y multiplicando por . Ejemplo. AB = 2 cm. 2 cm = 4 cm² 2 cm. 2 cm. h=5 cm. V = (1/3) . AB . h = (1/3) . 20 cm ² . 5 cm = (100/3) cm3

19 ÁREAS Y VOLÚMENES DE PIRÁMIDES.
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE PIRÁMIDES TETRAEDRO PIRÁMIDE PENTAGONAL

20 ÁREA DE TRONCO DE PIRÁMIDE.
El ÁREA TOTAL de cualquier TRONCO DE PIRÁMIDE la podemos obtener desarrollando el tronco de pirámide en un plano, y obteniendo el ÁREA LATERAL de las n áreas de los TRAPECIOS ISÓSCELES LATERALES (n = lados de la base) y sumándole el área de las dos bases (polígonos de n lados).

21 EJEMPLO. Dado una TRONCO DE PIRÁMIDE de base mayor un cuadrado de lado 2 cm. y base menor un cuadrado de base 1 cm. Y cuya apotema de sus trapecios isósceles (altura de trapecios laterales) es de 3 cm. 2 cm. 1 cm. 3 cm. ABM = 2 cm. 2 cm = 4 cm² 2 cm. ABm = 1 cm. 1 cm = 1 cm² 1 cm. AL = 4.(½ .( 2 cm. + 1 cm) . 3 cm.) = 12 cm² 2 cm. 1 cm. 3 cm. AT = ABM + ABm + AL = = 4 cm² + 1 cm² + 12 cm² = = 17 cm²

22 VOLÚMENES DE TRONCO DE PIRÁMIDE.
El VOLUMEN de cualquier TRONCO DE PIRÁMIDE se obtiene restando al volumen de la PIRÁMIDE COMPLETA, el volumen de la PIRÁMIDE QUE FALTA. EJEMPLOS DE TRONCO DE PIRÁMIDE TRONCO DE PIRÁMIDE

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