EJERCICIOS DE EXPRESIONES REGULARES Y AUTOMATAS

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1.α + (β + γ) = (α + β) + γ 2.α + β = β + α 3.α + Ø = α 4.α + α = α 5.α · λ = α 6.α · Ø = Ø 7.α · (β · γ) = (α · β) · γ 8.α · (β + γ) = αβ + αγ, (β + γ) · α = βα + γα

9.λ* = λ 1O.Ø* = λ 11.α · α* = α* · α 12.α* = α* · α* = (α*)* 13.α* = λ + α · α* 14.(α + β)* = (α* + β*)* 15.(α + β)* = (α* · β*)* = (α* · β)* · α* 16.α · (β · α)* = (α · β)* · α 17. Si λЄ L(a), entonces a+λ=a

Ejemplo Sean § = {0, 1} y L, M dos lenguajes sobre § dados por L ={1, 10} y M = {1, 01} entonces LM = {11, 101, 1001}. Mientras que ML = {11, 110, 001, 0110}.

Ejemplo Dado V = {0; 1} y la ER α = 0*10*, tenemos que: L(0*10*) = L(0*) L(1) L(0*) = (L(0))* L(1) (L(0))* = {0}*.{1}.{0}*={0n10m | n, m  0}

Ejemplo Si ∑ = {a, b, c} entonces ∑2 = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} Sea § = {0, 1} y L = {01, 1}, entonces L3 = {010101, 01011, 01101, 0111, 10101, 1011, 1101, 111}

Ejemplo Obtener una ER para el lenguaje en el alfabeto {a, b, c} en que las palabras contienen exactamente una vez dos b contiguas. Por ejemplo, las palabras aabb, babba, pertenecen al lenguaje, pero no aaba, abbba ni bbabb.

Ejemplo Dado el alfabeto Σ = {a, b, c}, (a U b*)a*(bc)* Es una expresión regular que representa al lenguaje ({a} U {b}*) · {a}* · {bc}*

Ejemplo Dada la expresión regular (a | b)*, el lenguaje que denota es el que puede formar con todas las cadenas compuestas por a y b incluida la cadena vacía. Algunos ejemplos de sentencias de estos lenguajes son: λ, aaa, bbb, aba, abaaa, abbaa.

Ejemplo Sea el vocabulario {1,2,3}, la expresión regular (1|2)*3 indica el conjunto de todas las cadenas formada por los símbolos 1 y 2, sucediéndose cualquier Nº de veces (y en cualquier orden), y siempre terminando la cadena en el símbolo 3. 3, 13, 123, 11113, 22213, 23, 223, 113, ,

Ejemplo Dado el alfabeto Σ = {a, b}, (λ U a)*(a U b)*(ba)* Es una expresión regular que representa al lenguaje ({λ} U {a})* · {a, b}* · {ba}*.

Para resolver este problema, expresamos primero la estructura de la ER de la manera siguiente: < contexto1 > bb < contexto2 > El lenguaje de < contexto1 > comprende a las palabras que no tienen bb y además no terminan en b. 4 Esto es equivalente a decir que toda b está seguida de una a o una c. Esto quiere decir que la ER de este contexto va ser de la forma: (. . . b(a + c) . . .)

Similarmente se puede obtener la expresión para < contexto2 >, que es ((a + c ) b)*, Por lo que finalmente la ER del problema es: (b(a + c))*bb((a + c)b)*

Ejemplo Sea la ER t = a + bc + b3a. Cuál es el lenguaje descrito por t? Que expresión regular corresponde al lenguaje universal sobre el alfabeto {a, b, c?

En primer lugar, esta no es estrictamente hablando una ER, ya que no se permite b3a: Sin embargo, aceptamos como válida la expresión a + bc + b3a, como una simplificación de la ER a+bc+bbba. En ese caso, L(t) ={a; bc; bbba}, que como vemos es un lenguaje finito sobre el alfabeto {a; b; c}. La ER que describe el lenguaje universal sobre este alfabeto es (a + b + c)*

Ejemplo Simplificar la ER t = a + a (b + aa) (b*aa)* b* + a (aa + b)*. Aplicando las propiedades de las expresiones regulares, podemos obtener una ER equivalente con tan solo 4 operadores: a + a (b + aa) (b*aa)* b* +a (aa + b)* (Propiedad 15) a + a (b + aa) (b + aa)* +a (aa + b)* (Propiedad 8) a( λ + (b + aa) (b + aa)* ) + a (aa + b)* (Propiedad 13) a( b + aa )* + a (aa + b)* (Propiedad 2) a (aa + b)* + a (aa + b)* (Propiedad 4) a (aa + b)*

Ejemplo Simplificar la expresión regular : 1*O1*O (O1*O1*O + 1)* O1* + 1* de forma que sólo aparezca un operador +. 1*O1*O (O1*O1*O + 1)* O1* + 1* (Propiedad 15) 1*O1*O (1* • O1*O1*O)* 1* • O1* + 1* (Propiedad 16) (1*O1*O • 1*O)* 1*O1*O1*O1* + 1* (Propiedad 8) ((1*O1*O1*O)* 1*O1*O1*O + λ) 1* (Propiedad 13) (1* • O1*O1*O)* 1* (Propiedad 15) (1 + O1*O1*O)*

Ejemplo Sea el vocabulario {a,b} y la expresión regular aa*bb*. Indicar el lenguaje que denota y algunas cadenas de dicho lenguaje. Algunas cadenas: ab, aab, aaaab, abbbb, abb. El lenguaje que se describe es L={cadenas que comienzan por una a y continúan con varias o ninguna a, y siguen con una b y continúan con varias o ninguna b}.

Ejemplo A = b*ab* El lenguaje A de todas las palabras que tienen exactamente una a: B = b(a U b)* El lenguaje B de todas las palabras que comienzan con b: C = (a U b)*ba(a U b)∗ El lenguaje C de todas las palabras que contienen la cadena ba:

Ejemplo Encontrar expresiones regulares que representen los siguientes lenguajes, definidos sobre el alfabeto Σ = {a, b}. b(a U b)*a Lenguaje de todas las palabras que comienzan con b y terminan con a. b*ab*ab* Lenguaje de todas las palabras que tienen exactamente dos a’s. (aa U ab U ba U bb)* Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de símbolos (palabras de longitud par).

Ejemplo Lenguaje de todas las palabras que tienen un número impar de símbolos (palabras de longitud impar). a(aa U ab U ba U bb)* U b(aa U ab U ba U bb)* Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de a/s. b*(ab*a)*b*. (ab*a U b)*. (b*ab*ab*)* U b*. b*(b*ab*ab*)*b*. Encontrar una expresión regular que represente el lenguaje de todas las palabras que no contienen la cadena bc, definido sobre el alfabeto Σ = {a, b, c}. c∗(b ∪ ac∗)∗.

Ejemplo Lenguaje formado por las cadenas que terminan en 01: {0,1}*.{01} ({0} U {1})*.{01} Expresión regular: (0+1)*01

Ejemplo Lenguaje formado por palabras de longitud par sobre a’s y b’s: {aa,ab,ba,bb}* ({aa} U {ab} U {ba} U {bb})* Expresión: (aa+ab+ba+bb)*

Ejemplo: L(a*(a+b)) = L(a*)L((a+b)) = L(a)*L(a+b) = L(a)*(L(a)UL(b)) = {a}*({a}U{b}) = {λ,a,aa,aaa,...}{a,b} = {a,aa,...,b,ab,aab,...} = {an|n≥1} U {a2nb2m+1|n,m≥0}

Ejemplo c*.c+c* =c*¿? c*.c+c* = c*.c+c*+λ (por …..) = c.c*+c*+λ (por …..) = λ+c.c*+c* (por …..) = c*+c* (por …..) = c* (por …..)

Ejemplo c+c* =c*¿? c+c* = c+λ+c.c* (por ……) = λ+c+c.c* (por ……) = λ+c.λ+c.c* (por ……) = λ+c.(λ+c*) (por ……) = λ+c.c* (por ……) = c* (por ……)

Ejemplo: Sea V={0,1} Diseñar una expresión regular que genere un alfabeto V que empiece con 1 y pueda conseguir cualquier cantidad de ceros y unos. 1(0 | 1)* Diseñar una expresión regular que genere un alfabeto V que empiece con 1, terminen con 02 ceros y si empieza con 0 termine con dos unos. 1(0 | 1)* 00 | (0 (0|1)*11)

Ejemplo Dar una ER que denote el lenguaje consistente de: al menos dos ceros precedidos por cualquier número de 0’s seguidos por cualquier número de 1’s. Primero podemos desarrollar una ER para 0 y para 0 que denotan los lenguajes {0} y {0} respectivamente. Si concatenamos las dos expresiones 00, obtenemos el lenguaje {00}. Veamos ahora como construir el resto, cualquier número de 0’s lo podemos escribir como 0 y lo mismo para cualquier número de 1’s, 1 y ahora debemos describir la concatenación 0 1 . La expresión regular completa es: 0*1* 00

Ejemplo: Dado el lenguaje descrito por la expresión regular (ab)*a, un AFND que acepta dicho lenguaje es el siguiente:

Ejemplo Sea el autómata finito A1, donde E={a,b} u {λ}; Q={q1,q2,q3,q4} y la función f viene dada por la siguiente tabla y el conjunto de estados finales es f={q3} f a b q1 q2 q4 q3

Determinar el lenguaje que reconoce, representar el diagrama de Moore e indicar la expresión regular que representa al lenguaje. Solución: Se construye el diagrama de Moore, colocando en primer lugar todos los estados dentro del circulo, marcando con doble circulo el estado final. El estado inicial se indica con una flecha que lo señala con la palabra INICIO encima. Para construir las ramas, nos situamos en el primer estado de la tabla de transiciones y se observa que:

f(q1,a) =q2 Entonces se traza la flecha q1 y q2, apuntando a q2 y se coloca encima de la flecha el símbolo del vocabulario de entrada a. De igual forma se recorre la tabla de transiciones para cada estado y entrada completándose el diagrama de moore.

Ejemplo Sea ∑ ={a, b}, Q = {0, 1, 2}, q0 =0, F = {2}, y δ viene definida así: Se define el diagrama de transiciones de dicho autómata como un grafo dirigido, en el que los estados se representan por nodos, las transiciones por flechas, de tal manera que dicho grafo satisface la definición de la función de transición δ Qi/δ a b 1 2

En este caso el autómata de la función sería: δ(0, a) = 1, δ (0, b) = 0, δ (1, a) = 2, δ (1, b)=0, δ (2, a) = 2, δ (2, b)=2 Nótese que para todos los símbolos del alfabeto, existe una transición de algún estado. Sabiendo esto, el anterior autómata quedaría representado así

Se define un estado de absorción o muerte como aquel estado q Є Q, y qF, que no tiene ninguna transición hacia ningún otro estado (opcionalmente, a sí mismo puede tenerlos), únicamente hay transiciones que inciden en él. Es decir: si δ (q, a) = ø, ó, δ (q, a) = q,  a Є ∑ .

Como vemos, el estado 3 no tiene ninguna transición, únicamente hay transiciones que inciden en él. Además, 3F, luego 3 es un estado de muerte. Cuando tenemos estados de muerte, se toma el convenio de no dibujarlos. En este último autómata, Si w = aaab. El autómata acepta la cadena, puesto que para en 2, que es estado de aceptación. Si w = bbba. El autómata rechaza la cadena, puesto que para en 3, que no es un estado de aceptación.

Ejemplo Hacer el autómata que reconozca este lenguaje: (a|b)aba*

En este diagrama de transiciones, se ve que se ha omitido un estado de muerte, porque por ejemplo el estado 1 no tiene transición con el símbolo "b", y va a parar a dicho estado de muerte. Igual pasa con el estado 2 y el símbolo "a", y el estado 3 con el símbolo "b"

Ejemplo Hacer el diagrama de transiciones con esta definición del autómata: Q={0,1,2,3} ∑ ={a, b} q 0 =0 F={0, 1, 2}

Como vemos, el estado 3 es un estado de muerte y podía haberse omitido. Este autómata, por ejemplo, acepta combinaciones de cadenas que no tengan 3 "b“ seguidas.

Q={q 0 ,q 1 } ∑ ={0, 1} F={q 0 } q 0 =q 0

Ejemplo Suponiendo ∑ ={0, 1}, dibujar los diagramas de transición que reconozcan. Cadenas terminadas en 00

Cadenas con dos "unos" consecutivos.

Cadenas que no contengan dos "unos" consecutivos.

Cadenas con dos "ceros" consecutivos o dos "unos" consecutivos.

Cadenas con dos "ceros" consecutivos y dos "unos" consecutivos.

Cadenas acabadas en 00 o 11.

Cadenas con un "uno" en la antepenúltima posición.

Cadenas de longitud 4.

Ejemplo

El estado 0, para el símbolo "a" tiene dos transiciones, una al estado 1 y otra al estado 4, es decir, δ (0, a) = {1, 4}. Q={0,1,2,3,4} F={3,4} ∑ ={a, b} q 0 =0

Pasar a DFA este NFA

Ya tenemos todos los estados marcados, ahora ya sólo queda pintar el diagrama de transiciones, luego el DFA quedaría así:

Ejemplo El Autómata A=({q0,q1,q2},{0,1}, ,q0,{q1}) Autómata representado con una tabla de transiciones: Autómata representado con un diagrama de transiciones: 1  q0 q2 q0  q1 q1

Ejemplo Minimizar la siguiente maquina secuencial

Creamos dos clases de equivalencia, por un lado los estados finales y por otro el resto de estados. Q/E1={{A,D,E},{B,C}} c1={A,D,E} y c2={B,C}

Q/E2 = {{A,D,E},{B,C}} = Q/E1 Como no se ha producido ningún cambio, paramos y reescribimos la tabla nuevamente.

Ejemplo Sea a=ba*

Ejemplo α =01|1*

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