Apuntes de Matemáticas 3º ESO FUNCIONES Tema 12 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

CRECIMIENTO Máximos y Mínimos Tema 12.4 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO CRECIMIENTO FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x1 y x2 de dicho intervalo, tal que x1 < x2 se cumple: f (x1) < f (x2) O sea: Al aumentar x aumenta f(x). FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO Una función y = f(x) decimos que es DECRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x1 y x2 de dicho intervalo, tal que x1 < x2 se cumple: f (x1) > f (x2) O sea: Al aumentar x disminuye f(x). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 y Sea f(x) = – 4.x + 4 Estudiar el crecimiento. Tabla de valores x y = f(x) – 2 – 4.(– 2) + 4 = 12 0 – 4.0 + 4 = 4 2 – 4.2 + 4 = – 4 Vemos que al aumentar el valor de x disminuye el valor de f(x) Luego es DECRECIENTE. 12 4 - 2 - 1 0 1 2 x – 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 bis y 3 Sea f(x) = 5.x – 7 Estudiar el crecimiento. Tabla de valores x y = f(x) 0 5.0 – 7 = – 7 1 5.1 – 7 = – 2 2 5.2 – 7 = 3 Vemos que al aumentar el valor de x aumenta el valor de f(x) Luego es CRECIENTE. 0 1 2 x – 2 – 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 2 Sea f(x) = x 2 – 3.x + 2 Estudiar el crecimiento. Tabla de valores x y = f(x) 0 0 – 3.0 + 2 = 2 1 1 – 3.1 + 2 = 0 1,5 2,25 – 3.1,5 + 2 = – 0,25 2 4 – 3.2 + 2 = 0 3 9 – 3.3 + 2 = 2 Hasta el vértice la función vemos que es DECRECIENTE. A partir del vértice la función vemos que es CRECIENTE. y 2 0 1 2 3 x Nota: El vértice siempre se encuentra en medio de los puntos de corte con el eje de abscisas. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 3 Sea f(x) = x3 – 9.x Estudiar el crecimiento. Tabla de valores x y = f(x) – 3 - 27 + 27 = 0 – 2 - 8 + 18 = 10 – 1 - 1 + 9 = 8 0 0 – 0 = 0 1 1 – 9 = – 8 2 8 – 18 = – 10 3 27 – 27 = 0 Vemos que CRECE, luego DECRECE y por último vuelve a CRECER. y – 3 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 4 Sea f(x) = (x – 4) / (x + 2) Estudiar el crecimiento. Tabla de valores x y = f(x) – 4 - 8 / (-2) = 4 – 3 - 7 / (-1) = 7 – 2 - 6 / 0 = NO EXISTE – 1 - 5 / 1 = – 5 0 – 4 / 2 = – 2 1 – 3 / 3 = – 1 2 – 2 / 4 = – 0,5 3 – 1 / 5 = – 0,2 Vemos que la función siempre es CRECIENTE. y 0 4 x - 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO MÁXIMOS Y MÍNIMOS MAXIMOS LOCALES Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO LOCAL en un punto x=a cuando en dicho punto pasa de ser creciente a ser decrecientre. f (a - h) < f (a) > f (a + h) MINIMOS LOCALES Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO LOCAL en un punto x=b cuando en dicho punto pasa de ser decreciente a ser crecientre. f (b - h) > f (b) < f (b + h) Nota: h es un número positivo. y=f (x) Máximo local f (a) f (b) Mínimo local x a b @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO MÁXIMOS Y MÍNIMOS Máximo absoluto MAXIMOS RELATIVOS Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando en dicho punto presenta un máximo local sin ángulos y h es muy pequeño. MINIMOS RELATIVOS Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando en dicho punto presenta un mínimo local sin ángulos y h es muy pequeño. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO/MÍNIMO ABSOLUTO en un punto cuando f(x) el mayor/menor valor de la función en dicho punto. y=f (x) Máximo relativo f (a) Mínimo relativo f (b) Mínimo absoluto x a b @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos de MÁXIMOS Y MÍNIMOS Sea la función f(x) = a.x2 + b.x + c Ejemplo 1 Sea la función cuadrática f (x) = 2x2 – 2 Como a = 2 > 0  Parábola cóncava Presenta un Mínimo Local en el vértice: Mín = V(0 , – 2) Ejemplo 2 Sea la función cuadrática f (x) = – x2 + 2.x Como a = – 1 < 0  Parábola convexa Presenta un Máximo Local en el vértice: Mín = V(1 , 1) Nota: En ambos casos los máximos y mínimos locales son también relativos y absolutos. V=Min V=Max @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio completo En el siguiente ejercicio determinar: Dominio de la función. Tipo de funciones representadas e intervalos correspondientes. Puntos de discontinuidad. Valor de la función en dichos puntos. Intervalos de discontinuidad. Máximos y mínimos locales. Coordenadas. Máximos y mínimos absolutos. Coordenadas Máximos y mínimos relativos. Intervalos de crecimiento. Intervalos de decrecimiento. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicio y = f(x) G 5 4 3 2 1 - 1 B H D M A A F N J E I C L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x K @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo práctico Compramos 50 kg de cierta mercancía a 5€ el kilo. Cada día que pasa se deterioran 2 kg, que ya no podemos vender. A su vez cada día que transcurre desde la compra el kg aumenta en 50 céntimos. ¿Cuánto tiempo debemos esperar a venderla para obtener el máximo beneficio?. Si la vendemos muy pronto, vendemos más kg pero a un precio muy parecido al de compra, con lo cual los beneficios serán muy pequeños. Si la vendemos muy tarde, vendemos cada kg a un precio muy elevado respecto al de compra, pero tendremos ya muy poco género para vender, con lo cual los beneficios, si les hay, serán muy pequeños. Sea x el número de días que esperamos para vender el género. Venta=Kilos x Precio V=(50 – 2.x).(5 + 1.x)=250 – 10.x + 50.x – x2 = – x2 + 40.x + 250 f(x)= – x2 + 40.x + 250  Función cuadrática  Parábola El máximo beneficio se alcanzará en el vértice de la misma, siendo ésta convexa. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO