TEMA 14 * 1º ESO POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

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1 TEMA 14 * 1º ESO POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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TEMA * 1º ESO POLÍGONOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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POLÍGONOS POLÍGONO Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Un polígono es regular si tiene sus ángulos y lados iguales. De lo contrario es irregular. regular de CINCO lados. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR Centro: punto interior que está a igual distancia de todos los vértices. Radio: Segmento que une el centro con un vértice. El centro y el radio lo son también de la circunferencia circunscrita. Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada Polígono regular @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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Tipos de polígonos SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Lados = 3 TRIÁNGULOS Lados = 4 CUADRILÁTEROS Lados = 5 PENTÁGONOS Lados = 6 EXÁGONOS Lados = 7 HEPTÁGONOS Lados = 8 OCTÓGONO ETC. SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES Todos los ángulos interiores son convexos, menores de 180º. POLÍGONO CONVEXO Algún ángulo interior es cóncavo, mayor de 180º. POLÍGONO CÁNCAVO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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APOTEMA DE UN POLÍGONO APOTEMA Es el segmento perpendicular al lado, que une el centro de un polígono regular con el punto medio del lado. En todos los polígonos regulares se puede construir un triángulo rectángulo en el cual: Hipotenusa: El radio del polígono. Un cateto: La apotema. Otro cateto: La mitad del lado. Por el Teorema de Pitágoras: R2 = a2 + (l/2)2 Ejemplo Hallar la apotema de un polígono regular cuyo radio mide 13 cm y cuyo lado mide 10 cm. a2 = R2 – (l/2)2 = 132 – 52 = 144  a = 12 54º 54º 72º R l a l / 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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EXÁGONO CONSTRUCCIÓN DEL EXÁGONO Es un polígono regular de seis lados. El radio, R, es igual al lado. Se compone de seis triángulos equiláteros. Todos sus ángulos miden 60º Se construye una circunferencia de radio igual al lado. Con la longitud del radio se marcan sobre la circunferencia seis puntos equidistantes (A, B, C, D, E y F). Y se unen los seis puntos. A B F C l=R D E @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

7 Apuntes Matemáticas 1º ESO
APOTEMA DEL EXÁGONO APOTEMA DEL EXÁGONO Es un exágono al ser el radio igual al lado, tenemos: Por el Teorema de Pitágoras: R2 = a2 + (l/2)2 En este caso: l2 = a2 + (l/2)2 Despejando la apotema: a2 = l2 – (l/2)2 Operando: a2 = l2 – l2/4 = (4.l2 – l2)/4= 3.l2 / 4 La apotema valdrá: a = √3.l2/4 = l.√3 / 2 A B F C l=R a l/2 D E @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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Ejemplos 1.- Hallar la apotema de un exágono regular de 6 cm de lado. a = l.√3 / 2 a = 6.√3 / 2 = 3.√3 cm 2.- Hallar la apotema de un exágono regular de 10 cm de lado. a = 10.√3 / 2 = 5.√3 cm 3.- Hallar el lado de un exágono regular de 4 cm de apotema. 4 = l.√3 / 2  4.2 / √3 = l  l = 8 / √3 cm 4.- Hallar el lado de un exágono regular de 7.√3 cm de apotema. 7.√3 = l.√3 / 2  7.√3. 2 / √3 = l  l = 14 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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POLÍGONOS REGULARES Los polígonos reglares son polígonos convexos cuyos lados son iguales. CONSTRUCCIÓN 1.- Se traza una circunferencia con el mismo lado del polígono. Esta circunferencia será la circunscrita, o sea la que pasa por todos los vértices. 2.- Se traza un diámetro. 3.- Se divide el diámetro trazado en tantas partes iguales como lados tenga el polígono a dibujar. Por ejemplo dibujaremos un pentágono: n=5. 4.- Se trazan dos arcos de circunferencia, cada uno con centro en un extremo del diámetro y que pasen por el otro extremo. 5.- Se traza una recta que una el punto de intersección de los arcos con la segunda de las divisiones del diámetro. 6.- Señalamos el punto de corte de la anterior recta con la circunferencia. 7.- La distancia del punto anterior al extremo del diámetro es el lado del polígono. Con el compás llevamos esta distancia a lo largo de la circunferencia y tenemos los vértices. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

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