Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES LINEALES

Ecuación lineal Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma: es una ecuación lineal en la variable dependiente y. Cuando g(x)=0 se dice que la ecuación lineal es homogénea; de lo contrario es no homogénea.

Forma estándar Al dividir la ecuación lineal entre el coeficiente principal a1(x), se obtiene la forma estándar de la ecuación

Propiedad La ecuación diferencial tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones y = yc + yp, donde: yc es una solución de la ecuación homogénea afín y yp es una solución particular de la ecuación no homogénea

Propiedad… Observe que: La ecuación es separable. Este hecho permite encontrar yc al escribir la ecuación como: e integrar. Resolviendo para y se obtiene Por conveniencia se excribirá y=cy1(x).

Procedimiento Ahora se puede obtener una solución de la ecuación diferencial mediante un procedimiento que se conoce como variación de parámetros. La idea básica es encontrar una función u de modo que: sea solución de

Procedimiento… Al sustituir yp=uy1 en se obtiene:

Procedimiento… Luego de separar variables e integrar, se obtiene: y Como Por consiguiente: Y

Procedimiento… No es importante memorizar esta última fórmula, sin embargo si es importante recordar el término: Porque se empleará en una forma equivalente pero más fácil de resolver: Que al derivarse:

Procedimiento… Y a partir de ella, finalmente se obtiene: Nótese que al dividir entre la ecuación anterior, se obtiene

Método de solución El método que se recomienda para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden es: Escribir la ecuación lineal de la forma en la forma estándar Identifique, a partir de la forma estándar, P(x) y luego determine el factor integrante

Método de solución… Multiplique la forma estándar por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y: Integre ambos lados de esta última ecuación.

Solución de una ED de primer orden mediante el método de variación de parámetros Resuelva: 1. Resuelva la ED lineal homogénea: 2. Resuelva la ED lineal no homogénea: 3. Resuelva la ED 4. Resuelva la ED