Lic. Mat. Helga Kelly Quiroz Chavil Matrices Lic. Mat. Helga Kelly Quiroz Chavil

Definición de Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis. Ejemplo:

Tipos de Matrices Matriz Cuadrada Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Ejemplo: Es una matriz cuadrada de orden 3x3 o simplemente diremos que tiene orden 3.

Matriz Nula Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por Por ejemplo, la matriz sería la matriz: 0 =

Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I:

Matriz Escalar Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo:

Transpuesta de una matriz Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por . Por ejemplo: Sea entonces

3. (𝐾𝐴) 𝑇 =𝐾 𝐴 𝑇 (si K es un escalar) 4. (𝐴𝐵) 𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇 Propiedades 1. (𝐴+𝐵) 𝑇 = 𝐴 𝑇 + 𝐵 𝑇 2.(AT)T = A. 3. (𝐾𝐴) 𝑇 =𝐾 𝐴 𝑇 (si K es un escalar) 4. (𝐴𝐵) 𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇

OPERACIONES CON MATRICES Adición de matrices Ejemplo 1: Calcular la matriz C=A+B,

Diferencia de Matrices Ejemplo 1: Calcular la matriz C=A - B, si:

Multiplicación de una matriz por un escalar Ejemplo: Sea K = 5 y A = Hallar KA.

Producto de dos matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Es decir : Am x n x Bn x p = C m x p

Ejemplo Hallar AxB, si Si y Calcular AxB. Si A= y B= Calcular A.B

Determinante de una matriz El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su determinante se denota como: Se lee “determinante de A”.

Determinante de una matriz de orden 2x2 Sea la matriz entonces el determinante de A es :

Ejemplo: Calcular el determinante de

Determinante de una matriz de orden 3 Sea la matriz Entonces el determinante de la matriz A es:

Ejemplo Sea

Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn= b2 . am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn =bm En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.

Características del sistema aij : Matriz de coeficientes. xi : Vector columna de incógnitas bj : Vector columna de términos independientes.

La matriz: A = se llama matriz de coeficientes La matriz: A = se llama matriz de coeficientes. x = se llama matriz de incógnitas. B = se llama matriz de términos independientes.

Ejemplo El sistema: x + y − z = 5 x + y = 7 x + 2y − z = 12 escrito matricialmente es?

Tipos de sistemas Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en: Sistema incompatible No tiene soluciones Sistema compatible determinado Tiene solución única Sistema compatible indeterminado Tiene infinitas soluciones.

Regla de Cramer La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Regla de Cramer = Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes. Δ =

Sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 , ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes de la columna de los términos independientes en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente. Luego: X1= Δ1 Δ X2= Δ2 Δ X3= Δ3 Δ …. Xn= Δn Δ

Asi:

Ejemplo: 1. Calcular el valor de X, Y , Z por el método de Cramer en el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 1 x – 2y + 3z = 2 x + z = 5

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer: x – y + 2z = 5 2x – 4y + 3z = 11 3x + 3y – z = 2

Teoría de Logaritmos DEFINICIÓN Si a>0 y a1, se define el logaritmo en base a de un número N de la siguiente manera:

Ejemplos:

Observación: Los logaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) y los logaritmos neperianos(de base el número e 2'71828182....). Ambos tienen una notación especial

PROPIEDADES. loga1=0 logaa=1 loga (N·M)=loga N + loga M loga (NM)= M . loga N *

Ecuaciones logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Tener en cuenta: Las propiedades de los logaritmos.

Resolver:

Ecuación exponencial Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta: a> 0 , a ≠1 𝑎 𝑥 1 = 𝑎 𝑥 2 Las propiedades de las potencias:

Propiedades

Propiedades

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales 5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651

Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales