Funciones Importantes Prof. Isaías Correa Marín

Objetivos: Representar gráficamente las funciones: parte entera, valor absoluto, raíz cuadrada, lineal, afín, constante, identidad, cuadrática y potencia. Analizar el comportamiento gráfico y analítico de las funciones mencionadas anteriormente. Determinar dominio y recorrido de funciones parte entera, valor absoluto, raíz cuadrada, lineal, afín, constante, identidad, cuadrática y potencia.

Contenidos Función Lineal 2. Función Afín 3. Función Identidad 1.1 Definición 1.2 Gráficos 2. Función Afín 2.1 Definición 2.2 Gráficos 3. Función Identidad 3.1 Definición 3.2 Gráficos

6. Función Valor Absoluto 4. Función Constante 4.1 Definición 4.2 Gráficos 5. Función Cuadrática 5.1 Definición 5.2 Gráficos 6. Función Valor Absoluto 6.1 Definición 6.2 Gráficos 7.Función Raíz Cuadrada 7.1 Definición 7.2 Gráficos

8. Función Potencia 9. Función Parte Entera 10. Función Exponencial 8.1 Definición 8.2 Gráficos 9. Función Parte Entera 9.1 Definición 9.2 Gráficos 10. Función Exponencial 10.1 Definición 10.2 Gráficos 11. Función Logarítmica 11.1 Definición 11.2 Gráficos

1. Función Lineal 1.1 Definición: es una línea recta que pasa por el origen. f(x)=kx   1.2 Gráfico Dom f= IR   Rec f=IR Es Biyectiva Posee Inversa   Obs. i) K es una constante de proporcionalidad. ii) K es la pendiente de la recta

2. Función Afín 2.1 Definición: Es una recta que NO pasa por el origen. f(x)=mx + n   n:coeficiente de posición 2.2 Gráfico:   Dom f: IR Rec f=IR   Obs. Es biyectiva siempre y posee inversa

3. Función Identidad: 3.1 Definición: La preimagen es igual a su imagen. f(x)= x m =1 3.2 Gráfico: -1 Dom f= IR Rec f=IR Es Biyectiva Posee inversa   Obs. Es equidistante de los ejes coordenados.

4. Función Constante 4.1 Definición: es una recta paralela al eje x. f(x)= a   4.2 Gráfico: -1 Dom f= IR   Rec f={a}   Obs. No es biyectiva, no posee inversa

5. Función Cuadrática 5.1 Definición: 5.2 Gráficos:     5.2 Gráficos:       c b       Rec f, dependerá de la concavidad, es decir hacia donde abre. Dom f= IR Obs. En general, no es biyectiva y no posee inversa

Otras variaciones de la función cuadrática     y Y=f(x) IR b IR x h h

6. Función valor absoluto 6.1. Definición Es de la forma: f(x) = x x si x ≥ 0 x = -x si x < 0 Dom(f)= IR Rec(f) = IR+ U {0} Obs: i) No es biyectiva ii) No posee inversa

6.2. Gráfico f(x) = x

Ejemplos: 1. f(x) = x + 1 -1

2. f(x) = x - 1 -1

3. f(x) = x + 1 -1

4. f(x) = x - 1 -1

5. f(x) = - x

7. Función raíz cuadrada 7.1. Definición f(x) = x Es de la forma: , con x ≥ 0 Su representación gráfica: Dom(f)= IR+ U {0} Rec(f) = IR+ U {0} Obs: Esta función podría ser biyectiva, si se redefine el Dominio y el Recorrido

Observación: • Cuando se tiene f(x) = – x , se está considerando que la raíz es negativa, es decir , las imágenes son menores o iguales a cero. De esta forma, también se habla de la función raíz, con su rama negativa. Su representación gráfica: y x Dom (f)= IR+ U {0} Rec(f)= IR- U {0}

Ejemplos: 1. Determinar el dominio y recorrido de f(x) = 2x -6 Solución: El dominio se obtiene de la desigualdad: 2x – 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x ≥ 3 Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que satisfacen la desigualdad x ≥ 3. Por lo tanto: Dom(f)=[3, +∞[ El recorrido de esta función se obtiene fácilmente del gráfico viendo su proyección sobre el eje y.

Gráficamente: x y 3 El recorrido de la función es: Rec(f) = IR+ U {0} o también: Rec(f) = [0,+∞ [

Solución: 2. Determinar el dominio y recorrido de: f(x) = 5x -10 + 4 El dominio se obtiene de la desigualdad: 5x – 10 ≥ 0 5x ≥ 10 x ≥ 2 Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que satisfacen la desigualdad x ≥ 2. Por lo tanto: Dom(f)=[2, +∞[

Gráficamente: x y 3 2 1 4 El recorrido de la función es: o también:   o también: Rec(f) = {y Є IR / y ≥ 4}

8. Función Potencia 8.1 Definición: 8.2 Gráfico: Rec f, dependerá del       8.2 Gráfico: n es impar   Rec f, dependerá del valor de n. n es par   Además es biyectiva y posee inversa.

9. Función Parte entera 9.1. Definición f(x) = [x] Es de la forma: f(x) = [x] [x] corresponde al menor de los dos enteros, entre los cuales está comprendido x. Si x es entero, [x] = x Dom(f)= IR Rec(f) = Z Ejemplos: a) [2,3] = 2 b) [8,9] = 8 c) [-6,4] = -7 d) [-4] = -4

9.2. Gráfico f(x) = [x] Dom f=R Obs. i) No es Biyectiva   y x 1 2 3 4 - 1 - 2 - 3 o Dom f=R Obs. i) No es Biyectiva ii) No posee inversa Rec f= Z

10. Función Exponencial 10.1 Definición: 10.2 Gráfico: Dom f=IR La variable independiente se encuentra en el exponente.       10.2 Gráfico: y y     1 1 x x Dom f=IR   El eje x es asíntota Obs:Es biyectiva, posee inversa

11. Función Logarítmica 11.1 Definición: Es la función inversa de exponencial.       11.2 Gráfico: y y     1 x x 1   Rec f=IR El eje y es asíntota Obs:Es biyectiva, posee inversa

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