Repaso Resolviendo Ecuaciones y Desigualdades con una variable

Propiedades Básicas de la Igualdad Si a, b y c son nombres de objetos, entonces: 1. a = a P. Reflexiva 2. Si a = b, entonces b = a P. Simétrica Si a = b, b = c entonces a = c P. Transitiva Si a = b, entonces ambas pueden reemplazar a la otra en cualquier proposición sin que cambie la veracidad o falsedad de ésta.

Otras Propiedades de la Igualdad Si a, b y c son números reales cualesquiera, 1. Si a = b, entonces a + c = b + c P. Suma Si a = b, entonces a - c = b - c P. Resta Si a = b, entonces ac = bc, c ≠ 0 P. Mult. Si a = b, entonces a/c = b/c, c ≠ 0 P. Div.

Desigualdades simples a < b Significa a es menor o igual a b a > b Significa a es mayor o igual a b

Desigualdades compuestas a < x < b Significa que a <x y x < b. es decir x está entre a y b incluyendo a b

Notación de Intervalos Notación de desigualdad Gráfica [a,b] a < x < b [a,b) (a,b] (a,b) [b,∞) x > b (b, ∞) (- ∞,a] x < a (- ∞,a) a b a b a b a b a b a b a b a b

Propiedades de las desigualdades Si a, b y c son números reales cualesquiera: 1. a < b, entonces a + c < b + c P. Suma 2. a < b, entonces a - c < b - c P. Resta a < b, entonces ac < bc P. Mult. 4. a < b, entonces a/c < b/c P. División 5. a < b y c es negativo, entonces a/c > b/c

Valor Absoluto |-5| = 5 |5| = 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 |-5| se lee el “valor absoluto de -5” y significa que la distancia de 0 hasta -5 es 5 unidades.

Definición de Valor Absoluto x si x es positivo |x| = 0 si x es cero -x si x es negativo El valor absoluto de un número nunca es negativo porque la distancia nunca es negativa.

Desigualdades con Valor Absoluto Para p > 0 |x| < p -p < x < p |x| > p x < p ó x > p

Ejemplos: 3x – 2(2x - 5)= 2(x + 3)- 8

Ejemplos: 3x – 2(2x - 5)= 2(x + 3)- 8 3x – 4x + 10 = 2x + 6 - 8 Eliminación de paréntisis – x + 10 = 2x - 2 Suma términos semejantes – 3x = -1 2 x = 4 Propiedad de la resta Propiedad de la división El conjunto de solución es {4}

Intenta: 2 (3 – x) – (3x + 1) = 8 – 2 (x + 2)

Intenta: 2 (3 – x) – (3x + 1) = 8 – 2 (x + 2) El conjunto de solución es {1/3}

Ejemplos: 2. Resuelve

Ejemplos: El conjunto de solución es {2} 2. Resuelve Multiplicar por el denominador común Simplificar fracciones Eliminar paréntesis Términos semejantes y P. Resta de la igualdad El conjunto de solución es {2}

Intenta:

Intenta: El conjunto de solución es {5/6}

Ejemplos: 3. Resuelve para P

Ejemplos: 3. Resuelve para P Factorizar factor común P. División de la igualdad

Intenta:

Intenta:

Ejemplo 4: Haz la gráfica de: [-2,3) (-4,2) [-2, ∞) (- ∞,3)

Ejemplo 4: Haz la gráfica de: [-2,3) (-4,2) [-2, ∞) (- ∞,3) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ejemplo 5: Escriba las siguientes desigualdades como notación de intervalos. a. -3 < x < 3 b. -1 < x < 2 c. x > 1 d. x < 2

Ejemplo 5: Escriba las siguientes desigualdades como notación de intervalos. a. -3 < x < 3 b. -1 < x < 2 c. x > 1 d. x < 2 (-3,3] [-1,2] (1, ∞) (- ∞, 2]

Ejempo 6: Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10

Ejempo 6: Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10 Eliminación de paréntesis. 4x + 6 < 6x – 2 Suma de términos semejantes -2x < – 8 P. Suma y resta de la igualdad x > 4 P. De la división de la igualdad La solución es x>4 ó (4, ∞)

Intenta: Resuelve: 3 (x - 1) > 5 ( x + 2) - 5

Intenta: Resuelve: 3 (x - 1) > 5 ( x + 2) - 5 La solución es x < -4 ó (-∞,- 4]

Intenta: Resuelve:

Intenta: Resuelve: La solución es x < 3.9 ó (-∞, 3.9]

Intenta: Resuelve:

Intenta: Resuelve: La solución es x > 6 ó ( 6 , ∞ )

Ejemplo 7: Resuelve:

Ejemplo 7: Resuelve: La solución es ó (-2, 1] P. Resta de la Igualdad P. División de la Igualdad La solución es ó (-2, 1]

Intenta: Resuelve:

Intenta: Resuelve: La solución es ó (-5, 0] P. Resta de la Igualdad Términos semejantes P. División de la Igualdad La solución es ó (-5, 0]

Ejemplo 8: |7| = |π - 3|= |-7| =

Ejemplo 8: |7| = 7 |π - 3|= π - 3 |-7| = 7

Ejemplo 9 Resuelve: |x – 3 | = 5

Ejemplo 9 Resuelve: |x – 3 | = 5 x – 3 = 5 x – 3 = -5 x = 5 + 3 Dos resultados, uno positivo y el otro negativo x – 3 = 5 x – 3 = -5 x = 5 + 3 x = -5 + 3 x = -2 x = 8 La solución es {8,-2}

Ejemplo 10 Resuelve: |x – 3 | < 5

Ejemplo 10 Resuelve: |x – 3 | < 5 x – 3 < 5 x – 3 > -5 Dos resultados, uno positivo y el otro negativo x – 3 < 5 y x – 3 > -5 x < 5 + 3 x > -5 + 3 Cambio de signo al que negativo. x > -2 x < 8 La solución es {-2 < x < 8}

Ejemplo 11 Resuelve: |x – 3 | > 5

Ejemplo 11 Resuelve: |x – 3 | > 5 x – 3 > 5 x – 3 < -5 Dos resultados, uno positivo y el otro negativo x – 3 > 5 ó x – 3 < -5 x >< 5 + 3 x < -5 + 3 Cambio de signo al que negativo. x < -2 x > 8 La solución es {x < -2 ó x > 8}

Ejemplo 12 Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5

Ejemplo 12 Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5 0 < |x – 3 | Desigualdad compuesta 0 < |x – 3 | |x – 3 | < 5 y Cada una de ellas tiene dos contestaciones 0 < x – 3 0 > x – 3 x – 3 < 5 x – 3 > -5 3 > x 3< x x < 5 + 3 x > -5 + 3 ó x > -2 x < 8 y x ≠ 3 La solución es {-2< x < 8 x ≠ 3}

Ejercicios sugeridos Barnett: p. 81-82 (1-20) (31-38)