Matemáticas Discretas Algebra de proposiciones

Enunciados Los enunciados (o aserciones verbales) se denotan por las letras p, q, r con o sin subíndices. El carácter fundamental de un enunciado es que o bien es verdadero o bien falso, pero no ambas cosas.

Ejemplos 1: « Las rosas son rojas» y «Las violetas son azules» Conector Enunciados simples Enunciado Compuesto

Ejemplo 2: «Juan está enfermo o viejo» está implícitamente formado de los enunciados simples «Juan está enfermo» o «Juan esta viejo»

Conjunción Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra «y» para formar un enunciado compuesto, que se llama conjunción de los primeros enunciados. Simbólicamente se denota la conjunción de los dos enunciados p y q por p^q

Ejemplos 3: Sea p «Está lloviendo y sea q «El sol brilla». Entonces p^q denota el enunciado «Está lloviendo y el sol brilla».

Ejemplo 4: El símbolo ^ se puede emplear para definir la intersección de dos conjuntos; así A∩B = { x | xɛA ^ xɛB}

Conjunción El valor de verdad del enunciado compuesto p^q satisface la condición siguiente: V1: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p^q es verdadero; en otro caso p^q es falso. Es decir que la conjunción de dos enunciados es verdadera solamente si cada componente es verdadero.

Ejemplo 5: Sean los cuatros enunciados siguientes: París está en Francia y 2+2=5. París está en Inglaterra y 2+2=4. París está en Inglaterra y 2+2=5. París está en Francia y 2+2=4.

Continua ejemplo 5: Una manera muy conveniente lo anterior lo podemos expresar por medio de una tabla como sigue: Tabla 1 p q p^q V F

Disyunción Dos enunciados cuales quiera se pueden combinar por medio de la palabra «o» (en el sentido de «y/o») para formar un nuevo enunciado que se llama disyunción de los enunciados previos. Simbólicamente se denota la disyunción de los enunciados p y q por p˅q

Ejemplo 6: Sea p «El estudió francés en la universidad», y sea q «El vivió en Francia». Entonces p˅q es el enunciado «El estudió francés en la universidad o él vivió en Francia».

Ejemplo 7: El símbolo ˅ se puede emplear para definir la intersección de dos conjuntos; así AUB = { x | xɛA ˅ xɛB}

Disyunción El valor de verdad del enunciado compuesto p˅q cumple la condición siguiente: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos son verdaderos, entonces p˅q es verdadero ; en otro caso p˅q es falso. Es decir, la disyunción de dos enunciados es falsa solamente si cada enunciado es componente es falso.

Negación Dada cualquier proposición p, es posible formar otra proposición, denominada negación de p, al escribir «no es verdad que…», o «Es falso que…» antes de p o, de ser posible insertar en p la palabra «no». El símbolo de la negación de p se lee «no p», se denota por ¬p

Negación Si p es verdadera, entonces ¬p es falsa: y Si p es falsa, entonces ¬p es verdadera.

Condicional y bicondicional Muchas proposiciones, en particular las que se hacen en matemáticas, son de la forma «Si p entonces q». Estas proposiciones se denominan condicionales y se denota por p→q La condicional p→q suele leerse «p implica q» o «p sólo si q».

Condicional y bicondicional Otra proposición común es de la forma «p si sólo si q». Esta proposiciones se denominan bicondicionales y se denotan por p↔q La condicional p→p es falsa solo cuando la primera parte p, es verdadera y la segunda parte q, es falsa. En consecuencia, cuando p es falsa, la condición p→p es verdadera sin importar el valor de verdad de q. La bicondicional p↔q es verdadera siempre que p y q tienen los mismos valores de verdad; y es falsa en otro caso

Resumen Conectivo Se lee Nombre ¬ No Negación ^ Y Conjunción o producto lógico ˅ O Disyunción o suma lógica →/ Si…entonces Condicional ↔/ Si y sólo si Bicondicional