Computación Científica Teoría de Errores Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole

Métodos Numéricos Errores Aplicaciones Resolución de integrales Dra. Nélida B. Brignole Métodos Numéricos Aplicaciones Resolución de integrales Smoothing Resolución de grandes sistemas Análisis de sensibilidad Aspectos fundamentales del estudio Calidad de los datos Elección del método: Velocidad? Confiabilidad? Errores

Fuentes de Errores Analizar la producción y propagación de errores Dra. Nélida B. Brignole Fuentes de Errores Analizar la producción y propagación de errores Imprecisión en los datos Método empleado Errores de la máquina (redondeo) Modelado del problema real Hay muchas fuentes de error además de las producidas por la aritmética inexacta de la computadora

Teoría de Errores Error Absoluto Error Relativo Corrección Dra. Nélida B. Brignole Teoría de Errores Error Absoluto Error Relativo Corrección

Ejemplo

Decimales Correctos

Definiciones Número de cifras decimales: cantidad de cifras luego del punto o coma decimal Número de dígitos: cantidad de cifras a la derecha del primer número distinto de cero Ejemplo 0.00147 (3 dígitos – 5 decimales) Notación de punto flotante

Ejemplo ERROR absoluto Nro de decimales correctos ERROR relativo Nro de cifras significativas correctas 4D 2S

Redondeo Si la cifra en primer lugar a descartar es menor que 5, dejar la última cifra como está. Si la cifra en primer lugar a descartar es mayor que 5,sumarle 1 a la última cifra. Si la cifra en primer lugar a descartar es igual a 5, es indistinto

Cómo se almacenan los números reales en las computadoras Cómo se almacenan los números reales en las computadoras? Números binarios

Ejemplo

Problemas numéricos? Overflow / Underflow: exponente Redondeo: fracción Comunicación: sistema decimal Almacenamiento: sistema binario Set de números: set infinito Rangos limitados: Los dispositivos digitales usan una cadena de bits (palabra) para almacenar un número Se guarda un bit para el signo de la mantisa, y otro para el signo del exponente

Aritmética de punto flotante Palabra de longitud finita Exponente: overflow/underflow Fracción: errores de redondeo El conjunto de números reales es infinito. Entonces, No es posible representar TODOS los números con una sola palabra.

Overflow/Underflow Overflow: Underflow: mensaje de error (infinito) Si la corrida continúa, se propaga el error Underflow: El numero se setea a cero La corrida continúa Con escalado apropiado se puede eliminar el overflow al costo de generar underflows inofensivos

Ejemplo

Limitaciones típicas Precisión Tamaño de palabra Número de cifras signifi-cativas Rango del exponente Simple 32 bits 7 10-38- 1038 Doble 64 bits 15 10-307- 10307 Quad 128 bits

Comparación entre errores de redondeo y de truncado Si se suman números positivos con redondeo, los errores de redondeo serán positivos o negativos al azar y tenderán a cancelarse Si se suman números positivos con truncado, los errores de truncado siempre van en la misma dirección y se refuerzan entre sí. Se prefiere ARITMETICA CON REDONDEO Redondeo Truncado

Análisis de error en punto flotante Precisión de la aritmética en la computadora Se analiza en base 10 Se evita la confusión de pensar en otras bases. Se asumen 3 dígitos en la parte fraccionaria y un dígito decimal en el exponente. Los resultados se van normalizando. Algunas computadoras truncan los dígitos extra de la respuesta final, otras la redondean.

Propagación de errores: Sumas y restas En la suma y en la resta, las cotas para el error absoluto en el resultado están dadas por la suma de las cotas para los errores absolutos de los operandos

Propagación de errores: Restas En la suma y en la resta, las cotas para el error absoluto en el resultado están dadas por la suma de las cotas para los errores absolutos de los operandos

Propagación de errores: Productos y Cocientes En la multiplicación y la división, las cotas para los errores relativos están dadas por la suma de las cotas para los errores relativos en los operandos.

Cocientes

La propiedad asociativa NO se cumple para la adición en punto flotante

Si los términos en una suma de términos positivos son de distintos órdenes de magnitud, se deben adicionar en orden creciente para lograr mejor precisión en el resultado (Si sumamos primero todos los pequeños, quedará un número grande que eventualmente será comparable con el máximo)

Cancelación Puede existir precisión relativa muy baja al efectuar la diferencia entre dos números “casi” iguales

Ejemplo de cancelación

Resolución de ecuaciones cuadráticas

¿Cómo evitar la cancelación? Calcule Puede existir cancelación cerca del cero Resta entre dos números parecidos Reescritura de fórmula (usando series de Mc Laurin)

Nueva formulación Error en la nueva formulación? 7 decimales correctos si

Calcular:

Unidad de redondeo La unidad de redondeo es aproximadamente igual al máximo para el cual: Cómo se obtiene? Una medida importante en la aritmética de las computadoras es cuan pequeña es una diferencia entre dos valores que la computadora puede reconocer. Las tolerancias deben asociarse a un múltiplo de la unidad de redondeo

Pseudo-algoritmo Input s1.0 For k=1,2,…100 do s0.5s ts+1.0 if t≤1.0 then s2.0s output k-1, s stop end if end Esta determinación puede depender del lenguaje en el cual el programa ha sido escrito.

Epsilon machine Precisión Computadora Calculadora Simple 10-8 10-10 Es característico de la aritmética de cada máquina en cuestión Depende del tamaño de palabra, la base, tipo de redondeo Valores típicos: Precisión Computadora Calculadora Simple 10-8 10-10 Doble 10-16 10-12

Glosario Exactitud (accuracy): error absoluto o relativo de una determinada cantidad Precisión: es la exactitud con que se realizan las operaciones aritméticas básicas (medida por el epsilon machine) Si se efectúa una única operación => precisión=exactitud Si se efectúan muchas operaciones => precisión>>>> exactitud del resultado final

Estabilidad Algoritmo: método computacional bien definido para resolver una dada clase de problemas Condicionamiento: mide con cuánta exactitud es posible resolver un problema empleando una dada precisión en punto flotante, independientemente del algoritmo que se emplea Estabilidad: mide cuan bien un algoritmo resuelve un problema tratando de lograr la máxima exactitud asequible, la cual está definida por el condicionamiento del problema Los algoritmos que brindan respuestas (resultados) innecesariamente inexactos se denominan inestables Un proceso numérico es inestable si errores pequeños que surgen en una etapa del proceso se magnifican en etapa posteriores, degradando la exactitud del resultado final

Ejemplo de inestabilidad numérica Generar la sucesión: Resultado exacto:

Conclusiones El algoritmo es inestable: Los errores pequeños que surgen en una etapa del proceso se magnifican en etapas posteriores, degradando la exactitud del resultado final Se acumulan errores de redondeo Punto débil del algoritmo: Factor de amplificación: 13/3 Amplifica en 4.333 el error absoluto del siguiente valor

Fórmula general para propagación del error

Fórmula general para propagación del error

Errores Errores al convertir valores a una base interna de la computadora, normalmente base 2.

Condicionamiento de un problema Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos provocan grandes cambios en los resultados Se parte de la fórmula gral para propagación del error. K surge por comparación con la fórmula anterior.

Errores en la evaluación de funciones Observar que esta es una funcion para y entre [-pi/2, pi/2]

Condicionamiento

Desarrollo

El polinomio de Wilkinson In numerical analysis, Wilkinson's polynomial is a specific polynomial which was used by James H. Wilkinson in 1963 to illustrate a difficulty when finding the root of a polynomial: the location of the roots can be very sensitive to perturbations in the coefficients of the polynomial. Cómo es la raíz r=20 afectada perturbando a f?

Conclusión Polinomio desarrollado Las raíces de este polinomio son muy sensibles a las perturbaciones en los coeficientes

Efectos: desplazamiento de las raíces Notese que al achicar el coeficiente -210 a : Las raíces 16 y 17 cambian al par complejo: La raíz x=20 pasa a ser x=20.8 Las raíces 18 y 19 colapsan en una raíz doble en x=18.62 que se tornan en un par de raíces complejas conjugadas x≈ 19.5±1.9i, a medida que aumenta la perturbación. Wilkinson chose the perturbation of 2−23 because his Pilot ACE computer had 30-bit floating point significands, so for numbers around 210, 2−23 was an error in the first bit position not represented in the computer. The two real numbers, −210 and −210 − 2−23, are represented by the same floating point number, which means that 2−23 is the unavoidable error in representing a real coefficient close to −210 by a floating point number on that computer. The perturbation analysis shows that 30-bit coefficient precision is insufficient for separating the roots of Wilkinson's polynomial.

Lectura obligatoria Cap. 1 Introducción a los métodos numéricos Págs 1-37 Prestar atención a los ejemplos Disponible en la fotocopiadora