FUNCIONES Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Docente: Mg. Orlando Morales Rodríguez

TEMARIO Concepto de función Análisis de funciones I II III IV Reconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3 Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva Elementos característicos de una función

FUNCIÓN Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada. Conjunto de partida: Dominio Conjunto de llegada: Codominio ANTERIOR

Cada elemento del dominio debe tener imagen. Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden resumirse en estas dos: EXISTENCIA Cada elemento del dominio debe tener imagen. UNICIDAD La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.

El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x). El Codominio son los valores que puede tomar la variable dependiente (y). La IMAGEN es el subconjunto del CODOMINIO que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este. Dominio (x) Dominio (x) Dominio (x) Dominio (x) Codominio (y) Codominio (y) 1 2 3 4 5 7 A B C D E Imagen Imagen

f función f m a. n b. p c. q A= Dom f A B uno y sólo uno de B. Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado con uno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R1= {(x,y) / (x,y) Є AxB ^ y = x+1} I R1 = {(0,1),(1,2),(2,3)} Para cada elemento x Є A, excepto 3, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R1 Para el elemento 3ЄA, no existe imagen Є B tal que el par (3,y) Є R1 A 0. B 1. -1 3. Por lo tanto podemos afirmar que NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple con la condición de existencia. 2 1 3 2

y las siguientes relaciones definidas de A en B Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R2= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y2 = x2} II R2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)} Para cada elemento x Є A, excepto 1, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R2 Para el elemento 1 Є A, existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R2 y (1,-1) Є R2. A B 0. 1. 2. 3. 1 -1 2 3 Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple la condición de unicidad para un elemento del dominio.

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R3= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = x} III R3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)} Para todo elemento x Є A, en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R3. A B 0. 1. 2. 3. 1 2 3 Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN. -1

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R4= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = 3} IV R4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)} Para todo elemento x Є A, sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R4. A B 0. 1. 2. 3. 1 -1 2 Podemos afirmar que es FUNCION, ya que cumple con las condiciones de unicidad y existencia. 3

a 1 2 3 b SI NO Reconocimiento de funciones 1 En diagrama Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR

CORRECTO La relación del diagrama 1 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

INCORRECTO La relación del diagrama 1 es función ANTERIOR

a 1 b 2 c SI NO Reconocimiento de funciones 2 En diagrama Es función? CONTINUAR ANTERIOR SI NO

INCORRECTO La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le corresponden dos elementos de D. ANTERIOR

CORRECTO La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le corresponden dos elementos de D. ANTERIOR

1 a 2 b 3 SI NO Reconocimiento de funciones 3 En diagrama Es función? CONTINUAR ANTERIOR SI NO

INCORRECTO La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F. ANTERIOR

CORRECTO La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F. ANTERIOR

1 a b c d 2 3 SI NO Reconocimiento de funciones 4 En diagrama H 1 a b c d 2 3 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO La relación del diagrama 4 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

INCORRECTO La relación del diagrama 4 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

1 2 3 a b SI NO Reconocimiento de funciones 5 En diagrama Es función? J 1 2 3 a b Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR

CORRECTO La relación del diagrama 5 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

INCORRECTO La relación del diagrama 5 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

1 2 3 4 a b c d SI NO Reconocimiento de funciones 6 En diagrama K L 1 2 3 4 a b c d Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR

CORRECTO La relación del diagrama 6 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

INCORRECTO La relación del diagrama 6 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR

SI NO En tabla de valores 1 Es función? x y -3 -6 4 8 4 ANTERIOR Es función? 4 ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO La relación 1 no es función porque 4 tiene dos imágenes. ANTERIOR

CORRECTO La relación 1 no es función porque 4 está relacionado dos veces. ANTERIOR

SI NO En tabla de valores 2 Es función? x y -3 8 4 8 8 ANTERIOR 8 Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR

CORRECTO La relación 2 es función. ANTERIOR

INCORRECTO La relación 2 es función. ANTERIOR

SI NO En tabla de valores 3 Es función? x y -3 6 4 8 ANTERIOR 8 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO La relación 3 es función. ANTERIOR

INCORRECTO La relación 3 es función. ANTERIOR

En tabla de valores 4 x y -3 4 -6 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO La relación 4 no es función porque 0 no tiene imagen. ANTERIOR

CORRECTO La relación 4 no es función porque 0 no tiene imagen. ANTERIOR

SI NO En gráfico cartesiano 1 O Es función? y p n m a b c x ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO La relación del gráfico 1 es función. ANTERIOR

INCORRECTO La relación del gráfico 1 es función. ANTERIOR

SI NO En gráfico cartesiano 2 O Es función? y p n m a b c x ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO La relación del gráfico 2 no es función porque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.) ANTERIOR

CORRECTO La relación del gráfico 2 no es función porque c no tiene imagen. ANTERIOR

SI NO En gráfico cartesiano 3 O Es función? y p n m a b c x ANTERIOR CONTINUAR

CORRECTO La relación del gráfico 3 es función. ANTERIOR

INCORRECTO La relación del gráfico 3 es función. ANTERIOR

Clasificación de las funciones Función sobreyectiva o suryectiva Una función f de A en B se sobreyectiva, si y sólo si para todo y perteneciente a B existe un elemento x perteneciente a A, tal que f(x) = y. Ejemplo: Dados: A = {-1,0,1,2,} ; B = {0,1,4,} y f : A → B / f(x) = x2 tenemos: A B f 0. -1. 1. 2. 1 4 ANTERIOR CONTINUAR Observamos que el conjunto imagen coincide con B, es decir, todos los elementos de B reciben por lo menos una flecha.

Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=Img En otras palabras para que una función sea sobreyectiva, el codominio y la imagen deben coincidir. Recordemos que el codominio son todos los R, excepto que se nos comunique lo contrario. R R y Dominio Codominio x Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=Img ES SOBREYECTIVA

Función inyectiva Una función f de A en B es inyectiva, si y sólo si, cualesquiera que sean x1 y x2 Є A, si x1 ≠ x2 entonces f(x1) ≠ f(x2). Ejemplo: Dados: A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7,9,} y f : A → B / f(x) = 2x + 1 tenemos: A f B 1. 3. 5. 7. 9. 0. 1. 2. 3. ANTERIOR Para que una función sea inyectiva, cada elemento del codominio debe ser imagen de a lo sumo un elemento del dominio

Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva Función biyectiva Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva e inyectiva. Ejemplo: Dados: A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,4} y f : A → B / f(x) = x +1 tenemos: A B 0. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. ANTERIOR Observamos que en este caso la relación es uno a uno.

Para determinar si la gráfica como la que vemos aquí corresponde o no a una función, podemos ayudarnos con el trazado de líneas auxiliares verticales, y analizar si alguna de ellas corta a la grafica en mas de una oportunidad. Y X Todas las rectas verticales cortan a la grafica en solo una oportunidad cada una, por lo que podemos asegurar que cumple la condición de existencia y unicidad, por lo tanto es FUNCION.

Veamos ahora esta gráfica, tracemos como antes rectas verticales para ver si cumple con las condiciones: y x Como se puede ver, algunas rectas verticales cortan a la gráfica en mas de una oportunidad, con lo que no se cumple la condición de existencia

Veamos ahora esta gráfica, el dominio esta definido como Observar que el grafico termina en 5 y NO continua mas allá de ese valor. y x 5 Al trazar las rectas auxiliares verticales, podemos ver que hay algunas que no cortan a la grafica, por lo tanto en esos valores del dominio, no hay imagen, lo que nos permite afirmar que NO ES FUNCION, ya que no cumple la condición de existencia

Si al grafico anterior le modificamos el dominio, tal que DOM: ,y trazamos ahora rectas verticales,(recordar que solo debo estudiar las condiciones en el dominio, y por lo tanto trazar rectas verticales solo en el intervalo ) y x 5 Veremos que TODAS las rectas cortan a la gráfica SOLO en un punto, por lo tanto, podemos afirmar que este gráfico corresponde a una función.

Elementos característicos de una gráfica Veremos ahora como reconocer algunas características de las graficas: Dominio: recorrido de la función sobre el eje x Imagen: recorrido de la función sobre el eje y Puntos máximos: son aquellos donde alcanza su mayor valor, pueden ser relativos o absolutos Puntos mínimos: son aquellos donde alcanza su menor valor, pueden ser relativos o absolutos Raíces o ceros: son los valores donde la función corta al eje x Intervalos de positividad: son los valores de x donde la función toma valores positivos Intervalos de negatividad: son los valores de x donde la función toma valores negativos

Intersección con el eje y: (0;3) Dom: [-8;5] Y Img: [-5;6] Punto mínimo relativo (3;-4) 6 Pto. Mínimo absoluto: (-4;-5) Ptos. Máximos relativos (1;4),(-8;1) 4 Pto. Máximo absoluto: (5;6) Raíces:{-6;-2;2;4} Intersección con el eje y: (0;3) 1 3 -4 -8 -6 -2 1 2 4 5 X -4 -5 Intervalos de negatividad: (-6;-2)U(2;4) Intervalos de positividad:[-8;-6)U(-2;2)U(4;5]