Francisco Carlos Calderón Análisis de Fourier para señales continuas II Francisco Carlos Calderón PUJ 2009
Objetivos Representar señales continuas como suma de exponenciales complejas. Definir la transformada de fourier de tiempo continuo y estudiar algunas de sus propiedades. Analizar señales y SLIT continuos utilizando la transformada de Fourier.
La transformada continua de fourier La serie de fourier es de utilidad cuando la señal a ser representada es periódica. Cuando la señal no lo es, se debe recurrir a una generalización de esta serie de fourier. Señal periódica Señal no periódica
La transformada continua de fourier Partiendo del desarrollo en series de fourier de señales periódicas de : Señal periódica Se toma el limite cuando Como entonces puede verse como Por lo que De igual manera nw0 será una variable continua w Señal no periódica http://www.socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Games.html
La transformada continua de fourier Aplicando lo anterior en: Se llega a:
La transformada continua de fourier Puede escribirse la anterior ecuación así: Que forman la pareja transformada de fourier
La transformada continua de fourier Una señal no periódica tendrá un espectro continuo en lugar de uno discreto
La transformada continua de fourier Del inicio del capítulo 4 en el programa se encontró que para “cualquier” señal periódica existía un correspondiente grupo de coeficientes cn para el caso continuo no periódico, puede encontrarse una correspondencia así:
La transformada continua de fourier Para cada señal que posea una X(w), esta será única y representa una transformación de x(t). Por notación:
Convergencia de la Transformada Continua de Fourier Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias Condición 1. x(t) debe ser absolutamente integrable. Ejercicio: Una señal periódica es absolutamente integrable? PE sen(x) Condición 2. x(t) debe tener un número finito de máximos y mínimos durante cualquier intervalo finito Ejemplo No cumple 2, pero cumple 1
Convergencia de la Transformada Continua de Fourier Condición 3. x(t) debe tener un número finito de discontinuidades finitas cualquier intervalo finito de tiempo. Además cada una de estas debe ser finita Ejemplo Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias
Propiedades de la transformada continua de fourier Usando la notación: Y sean
Propiedades de la transformada continua de fourier Linealidad: Desplazamiento de tiempo: Conjugación
Propiedades de la transformada continua de fourier Escalamiento en tiempo: Multiplicación “modulación”: * Es el operador convolución
Propiedades de la transformada continua de fourier Diferenciación e integración: Dualidad
Propiedades de la transformada continua de fourier Convolución: Relación de Parseval
Referencias Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 4 Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 4 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ