REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS

Presentación del tema: "REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS"— Transcripción de la presentación:

1 REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS
INTEGRANTES: EDIMER CASTRO JORGE SOLORZANO LUIS THERAN link blog

2 CONTENIDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES.
TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH. DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA. FUNCIÓN DELTA DE DIRAC. TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS. TRANSMISIÓN DE SEÑALES A TRAVÉS DE SISTEMAS LINEALES.

3 TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES

4 DEFINICION La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t). La transformada de Fourier nos permite extender las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas.

5 EJEMPLO Considerando el siguiente Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

6 Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

7 Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

8 Si el periodo del tren de pulsos aumenta...

9 ...el espectro se "densifica".

10 En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
-20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T =  t f(t) Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

11 (T), el espectro se vuelve "continuo":
En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: (T), el espectro se vuelve "continuo": -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T =  t f(t)

12 Lo anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie: al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

13 antitrans - formada de Fourier:
Identidad de Fourier o antitrans - formada de Fourier: Transformada de Fourier:

14 NOTACIÓN A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir la expresión para obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

15 Ejemplo: Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
-p/ p/2 1 f(t) t Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:

16 Integrando: Usando la fórmula de Euler:

17 En forma gráfica, la transformada
es:

18 INTEGRAL DE FOURIER El par de Transformadas de Fourier es:

19 Ejemplo: Encontrar la transformada de Fourier de la señal

20

21 Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

22 Funciones Pares e Impares
En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

23 TRANSFORMADAS DE FOURIER DE FUNCIONES PARES, F(T) = F(-T):

24 Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

25 Propiedades de las transformadas de Fourier:

26 Propiedades de las transformadas de Fourier:

27 EJEMPLOS

28 La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.

29 Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo

30 Luego:

31 Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Efecto de la propiedad de escalado t w Pulso corto t w Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro. Pulso medio t w Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica. Pulso largo

32 Si determine la transformada de Fourier de
SOLUCIÓN: Se aplica la propiedad de desplazamiento en el tiempo

33

34 Encontrar la transformada de la señal
SOLUCIÓN: La propiedad de desplazamiento en frecuencia dice:

35 TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH
la potencia total de una señal periódica se puede asociar con la suma de las potencias contenidas en cada componente de frecuencia (teorema de Parseval). la misma clase de resultado es de esperar en el caso de señales no periódicas representadas por sus transformadas de Fourier. con esta definición el integrando se expresa como una intensidad de energía variante en el tiempo.

36 este es el “teorema de rayleigh”; también conocido como “teorema de plancherel”. establece que la energía contenida en una señal x(t) es igual al área bajo el cuadrado del módulo de la transformada de x(t), es decir, |x(f)|2. la cantidad |x(f)|2 se denomina “espectro de energía” o “densidad espectral de energía” de la señal x(t), y |x(f)|2 df es la energía contenida en un ancho de banda infinitesimal df. para poder aplicar este teorema solo necesitamos conocer el espectro de amplitud |x(f)| de la señal. el espectro de energía, más que el espectro de potencia, es la caracterización más apropiada para señales que poseen una transformada de Fourier. en el sentido físico, el teorema de rayleigh indica que “la energía de una señal no depende del modo de representación de la señal”. la energía es un invariante y es la misma así se tenga una representación temporal o una representación espectral de la señal.

37 DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

38 DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA
si la descripción en el tiempo de una señal es cambiada su descripción en la frecuencia es alterada en forma inversa.

39 DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA
Si una señal es estrictamente limitada en frecuencia, su definición en el tiempo se puede expandir indefinidamente. Una señal es estrictamente limitada en frecuencia o de banda limitada si su transformada de fourier es exactamente cero fuera de una banda finita de frecuencias. En el caso contrario (señal estrictamente limitada en tiempo) sucede lo mismo.

40 El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales respecto a su frecuencia. Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencial muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Una representación frecuencial incluye también la información sobre el desplazamiento de fase que debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la señal original. El dominio de la frecuencia está relacionado con las series de Fourier, las cuales permiten descomponer una señal periódica en un número finito o infinito de frecuencias, en caso de señales no periódicas, está directamente relacionado con la Transformada de Fourier.

41 IMPULSO (DELTA) La función Delta tiene las siguientes características: y Sin embargo, es imposible para cualquier función convencional tener estas propiedades, pero es posible aproximarla considerando el límite de una función convencional cuando el parámetro se aproxima a cero.

42 FUNCIÓN IMPULSO DELTA Tiempo Continuo Tiempo Discreto

43 EN TÉRMINOS GENERALES La teoría de la transformada de Fourier es aplicable solo a funciones en el tiempo que satisfacen las condiciones de Dirichlet. Tales funciones incluyen señales de energía. Podemos considerar la función delta como la forma limite de un pulso de área unitaria cuando la duración del pulso tiende a cero.

44 Ejemplo: desde punto de vista físico.
Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesario será menor. En el límite cuando t tiende a cero tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de gran fuerza. De esta forma definimos la Delta de Dirac como una "función" que vale cero en todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya área vale 1.

45 PROPIEDADES Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

46 APLICACION Esta función se usa para el muestreo o discretizacion de señales análogas .

47 TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS

48 INTRODUCCION Es bien sabido que al utilizar la serie de Fourier, una señal periódica puede representarse como una suma de exponenciales complejas. Asimismo, en un sentido limitado, es posible definir las transformadas de Fourier mediante exponenciales complejas. Por lo tanto, parece razonable representar una señal periódica en términos de una transformada de Fourier, siempre y cuando se permita que esta transformación incluya funciones delta.

49 TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS
Considere a continuación una señal periódica 𝑔 𝑇 0 (𝑡) de periodo 𝑇 0 . Representando a 𝑔 𝑇 0 (𝑡) en términos de la serie de Fourier exponencial compleja tenemos: 𝑔 𝑇 0 𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝐶 𝑛 𝑒 𝑗2𝜋𝑛 𝑓 0 𝑡 Donde 𝐶 𝑛 es el coeficiente de Fourier complejo definido por; 𝐶 𝑛 = 1 𝑇 0 −𝑇 0 2 𝑇 0 2 𝑔 𝑇 0 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛 𝑓 0 𝑑𝑡 Y 𝑓 0 es la frecuencia definida como el reciproco del periodo 𝑇 0 ; es decir, 𝑓 0 = 1 𝑇 0

50 Sea g(t) una función similar a un pulso, que es igual a 𝑔 𝑇 0 𝑡 sobre un periodo y cero en cualquier otro lado; es decir, 𝑔 𝑡 = 𝑔 𝑇 0 (𝑡) , &− 𝑇 0 2 <𝑡≤ 𝑇 , &𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 La señal periódica 𝑔 𝑇 0 (𝑡) puede expresarse ahora en términos de la función g(t) como una sumatoria infinita, según indica 𝑔 𝑇 0 𝑡 = 𝑚=−∞ ∞ 𝑔(𝑡−𝑚 𝑇 0 ) Con base en esta representación, podemos ver g (t) como una función generatriz, que genera la señal periódica 𝑔 𝑇 0 𝑡 . La función g(t) es transformable de Fourier. Por tanto, es factible reescribir la fórmula para el coeficiente de Fourier complejo del siguiente modo: 𝐶 𝑛 = 𝑓 0 −∞ ∞ 𝑔 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛 𝑓 0 𝑡 𝑑𝑡 𝑐 𝑛 = 𝑓 0 𝐺(𝑛 𝑓 0 )

51 Donde 𝐺(𝑛 𝑓 0 ) es la transformada de Fourier de g(t) evaluada a la frecuencia 𝑛 𝑓 0 . Consecuentemente podemos reescribir la fórmula para la reconstrucción de la señal periódica 𝑔 𝑇 0 𝑡 como, 𝑔 𝑇 0 𝑡 = 𝑓 0 𝑛=−∞ ∞ 𝐺(𝑛 𝑓 0 ) 𝑒 𝑗2𝜋𝑛 𝑓 0 𝑡 O, de modo equivalente, de acuerdo con la ecuación anterior, 𝑚=−∞ ∞ 𝑔 𝑡−𝑚 𝑇 0 = 𝑓 0 𝑛=−∞ ∞ 𝐺(𝑛 𝑓 0 ) 𝑒 𝑗2𝜋𝑛 𝑓 0 𝑡 Esta ecuación es una forma de la fórmula de poisson. Se puede observar que la función g(t), la cual constituye un periodo de la señal periódica 𝑔 𝑇 0 𝑡 , tiene un espectro continuo definido por la señal G(f). Por otro lado, la propia señal periódica 𝑔 𝑇 0 𝑡 tiene un espectro discreto. Por tanto, se puede concluir que la periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efecto de cambiar la descripción o espectro en el dominio de la frecuencia de la señal en una forma discreta definida en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

52 TRANSMISION DE SEÑALES ATRAVES DE SISTEMAS LINEALES

53 INTRODUCCION En la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos analizar, afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una clasificación, esa clasificación es la de sistemas lineales, los cuales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisis, por tal razón es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema lineal.

54 ¿QUE ES UN SISTEMA? Sistema
Es un proceso que produce una señal de salida en respuesta a una señal de entrada Es una entidad que manipula una o mas señales para llevar a cabo una función, produciendo de ese modo nuevas señales. Se refiere a cualquier dispositivo físico que produce una señal de salida en respuesta a una señal de entrada. Usualmente se refiere a la señal de entrada como la excitación y a la señal de salida como la respuesta. Sistema Señal de Entrada Señal de Salida x(t) y(t)=H{x(t)}

55 EJEMPLOS Sistema de Reconocimiento de Voz (DSP) Comunicación
Señal de Voz Identidad del Hablante Comunicación Señal de Voz/datos Estimación del mensaje original

56 SISTEMAS LINEALES Los sistemas lineales están caracterizados por el principio de superposición; es decir la respuesta de un sistema lineal a varias excitaciones aplicadas en forma simultánea es igual a la suma de las respuestas del sistema cuando cada excitación se aplica individualmente. Ejemplo: Si r1(t) es la respuesta a la función f1(t) y r2(t) es la respuesta a la función f2(t): Entonces la respuesta a la función: f1(t) + f2(t) será: r1(t) + r2(t). El postulado del principio de superposición es: "En general, la respuesta de un sistema lineal a la función de excitación 𝜶f1(t) + 𝜷f2(t) está dada por 𝜶r1(t) + 𝜷r2(t) donde; α y 𝜷 son constantes arbitrarias".

57 SISTEMAS LINEALES Respuesta del sistema (Vo) a la función de excitación (Vin). Ilustración de la respuesta individual (r1 y r2) de un sistema lineal a entradas individuales (f1 y f2).

58 INVARIABILIDAD EN EL TIEMPO
Significa que mover la señal de entrada en el tiempo produce un movimiento idéntico en la señal de salida Si x[n] produce y[n] entonces x[n + t] produce y[n + t]

59 TRANSMISIÓN DE SEÑALES
Los sistemas de transmisión de señales que se considerarán en las comunicaciones son: Sistemas lineales. Sistemas invariantes con el tiempo.

60 TRANSMISION DE SEÑALES
En el dominio del tiempo, un sistema lineal se describe en términos de su respuesta al impulso, la cual se define como la respuesta del sistema (con condiciones iniciales cero) a un impulso unitario o función delta 𝜹(𝒕) aplicado a la entrada del sistema. Si el sistema es invariante con el tiempo, entonces la forma de la respuesta al impulso es la misma sin que importe cuando se aplicó al sistema el impulso unitario. Por tanto suponiendo que se aplica el impulso unitario en el tiempo t = 0, podemos denotar la respuesta al pulso de un sistema lineal invariante con el tiempo por medio de h(t). Consideremos que el sistema está sujeto a una excitación arbitraria x(t). la respuesta y(t) del sistema se define en términos de la respuesta al impulso h(t) por medio de la siguiente expresión, 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 La cual recibe el nombre de integral de convolución como la convolución es conmutativa es posible escribir,

61 TRANSMISION DE SEÑALES
𝑦 𝑡 = −∞ ∞ ℎ 𝜏 𝑥 𝑡−𝜏 𝑑𝑡 Están implicadas tres escalas diferentes: tiempo de excitación 𝝉, tiempo de respuesta t y tiempo de memoria del sistema 𝒕−𝝉. Esta relación constituye la base del análisis en el dominio del tiempo de sistemas lineales invariantes con el tiempo. De acuerdo con la ecuación (integral de convolución). 𝑦 𝑡 = −∞ ∞ 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 El valor presente de la respuesta de un sistema lineal invariante con el tiempo es una integral ponderada sobre la historia pasada de la señal de entrada, ponderada a su vez de acuerdo con la respuesta al impulso del sistema. De esta manera la respuesta al impulso actúa como una función de memoria del sistema.

62 BIBLIOGRAFIA SISTEMA DE COMUNICACIONES (HAYKIN)

63 GRACIAS!