Matemáticas Acceso a CFGS Bloque II * Tema 068 DISTANCIAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTANCIA ENTRE PUNTOS Hallar la distancia entre dos puntos del plano cuyas coordenadas conocemos, es el mismo problema que hallar el módulo de un vector, Hallar el módulo de un vector será hallar la distancia entre el punto origen, A, y el punto extremo, B. d (A, B) =|v| =√ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] Siempre podemos formar un triángulo rectángulo cuyos catetos son: La diferencia de abscisas (x) La diferencia de ordenadas (y) El valor de la hipotenusa será la distancia que deseamos saber o el módulo del vector: d(A,B) =|v| =√ [ (8 – 4)2 + (5 – 2)2 ] = = √ [42 + 32] = √ 25 = 5 B(8, 5) v =(4, 3) A(4, 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO_1 Hallar la distancia del punto P(7, - 5) al punto Q(0, 2). d (M, N) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = = √ [ (0 - 7) 2 + ( 2 - (- 5) 2 ] = √ ((- 7) 2 + 7 2) = √ 50 = 5 .√ 2 EJEMPLO_2 La distancia del punto P(5, - 5) al punto Q(- 3, a) es 10. Hallar el valor de a. d (P, Q) = √ [ (x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ] = 10 √ [ (- 3 - 5) 2 + ( a - (- 5)) 2 ] = 10 √ [ (- 8) 2 + ( a + 5) 2 ] = 10 Eliminando la raíz: 64 + a 2 + 10.a + 25 = 100 a 2 + 10.a - 11 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: - 10 +/- √(100 + 44) - 10 +/- 12 1 a= --------------------------- = -------------- = 2 2 - 11 El punto Q tiene de coordenadas (- 3, 1) y también ( - 3, - 11). Se puede comprobar que son válidas las dos soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTANCIA DE PUNTO A RECTA Dado un punto P y una recta r se entiende por distancia del punto P a la recta r la mínima distancia del punto P a cualquier punto de la recta. Esa mínima distancia se obtiene en la perpendicular a la recta desde el punto P. Sea el punto P(a, b) y la recta r: Ax+By+C=0 El vector v(A, B) es perpendicular a la recta y el punto Q(xo, yo) pertenece a ella. El producto escalar entre v y QP es: v.QP=|v|.|QP|,cos α Como |QP|,cos α = d , tenemos: (A,B).(xo – a, yo – b)=|v|.d Axo – Aa + Byo – Bb = √(A2+B2).d Y despejando d: Axo + Byo – (Aa + Bb) d=------------------------------- , quedando: √(A2+B2) |Axo + Byo + C| d = ----------------------- P(a,b) QP α d Q v r @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 1 Hallar la distancia del punto P(1, - 2) a la recta r: x+y – 7 = 0 Sabemos que: |Axo + Byo + C| d = ----------------------- √(A2+B2) Luego: |1.1 + 1.(-2) – 7| |- 8| 8. √2 d = ----------------------- = ------- = ---------- = 4.√2 √(12+12) √2 2 EJEMPLO 2 La distancia del punto P(4, - 3) a la recta r: 3x+4y – p = 0 vale 5.Hallar p |3.4 + 4.(- 3) – p| |12 – 12 – p| 5 = ----------------------- = ------------------ ; | - p| = 25 √(32+42) 5 Solución: p = 25 y p = - 25 ,, valen ambas soluciones Hay dos rectas que cumplen los requisitos: r: 3x+4y – 25 = 0 y r’: 3x+4y + 25 = 0 r d=5 d=5 r’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

DISTANCIA ENTRE RECTAS Observando el dibujo vemos que la distancia entre dos rectas paralelas es la diferencia de distancias del origen de coordenadas a ambas. Sea una r: Ax + By + C = 0 y la otra s: Ax+By+C’=0 Las distancias del O(0,0) a cada una de ellas será: |A.0 + B.0 + C| |C| d1=--------------------- = ------------ y √(A2+B2) √(A2+B2) |A.0 + B.0 + C’| |C’| d2 = --------------------- = ---------- √(A2+B2) √(A2+B2) La distancia entre ambas será: |C – C’| d = --------------- √(A2+B2) s d r @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 1 Hallar la distancia entre las rectas r: 3x – 4y + 5 = 0 y s: 3x – 4y – 5 = 0 |C – C’| 5 – (– 5) 10 d = --------------- = ------------- = ------ = 2 √(A2+B2) √(32+42) 5 EJEMPLO 2 Hallar la distancia entre las rectas r: 3x + 7 = 0 y s: 3x + 4 = 0 |C – C’| 7 – 4 3 d = --------------- = ------------- = ----- = 1 √(A2+B2) √(32+02) 3 EJEMPLO 3 Sean las rectas r: x + 7y – 5 = 0 y s: x + 7y + p = 0 Hallar p para que la distancia entre ambas sea d= 5 |C – C’| p – (– 5) p+5 d = --------------- ; 5 = ------------- = ----- ; p+5 = 5. 5√2  p = 25.√2 – 5 √(A2+B2) √(12+72) √50 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS