Algebra Booleana y Compuertas Lógicas AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana Algebra Booleana Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una disciplina matemática conocida como Algebra de Boole. Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948. George Boole Claude Shannon

Algebra Booleana El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas: Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales. Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una implementación simplificada de esta función. Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1 (VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x), por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente: La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma, respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces, Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este resultado. La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad, la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND (Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana Esto es Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación de ciertos circuitos digitales. Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas. Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra ordinaria: Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

Compuertas Lógicas El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas. Una compuerta es un circuito electrónico que produce una señal de salida, la cual es la una operación booleana simple sobre sus señales de entrada. Las compuertas lógicas básicas usadas en circuitos digitales son AND, OR, NOT, NAND, NOR y XOR. La tabla muestra el nombre, símbolo, función algebraica y Tabla de Verdad de cada compuerta. Los símbolos utilizados corresponden al estándar IEEE Std 91. Note que la inversión (NOT) se indica con un círculo.

Algebra Booleana Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas. Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas. Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá posteriormente.

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Algebra Booleana Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital. El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto. Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos: AND, OR, NOT AND, NOT OR, NOT NAND NOR Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana. Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse aplicando el Teorema de DeMorgan: De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

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