Objetivo: Aplicar el Teorema de Thales en la resolución de problemas y ejercicios extraídos de la cultura cotidiana o sistematizada.

Thales de Mileto Nació en Mileto, Grecia, alrededor del año 624 a. C., hijo de Examyes y Cleobuline. Fue ingeniero, filósofo, comerciante, matemático y científico. Logró calcular la altura de las pirámides de Egipto, mediante la comparación de las sombras que proyectaban, con la sombra de una vara clavada en el suelo. Se cree que predijo un eclipse de sol en el año 585 a. C.

Uno de los aportes importantes de Thales de Mileto, es el Teorema que lleva su nombre. El Teorema de Thales establece la relación entre los segmentos correspondientes, cuando tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales.

El trazo de rectas paralelas tiene gran importancia El trazo de rectas paralelas tiene gran importancia. Una de las primeras aplicaciones geométricas se basó en la observación de los rayos del Sol, que son paralelos. Este Hecho sirvió a Thales para efectuar medidas que hasta entonces parecían imposibles.

Podemos, por tanto, establecer la proporción Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra Rayos solares y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes Pirámide s (sombra) h (altura de bastón) Podemos, por tanto, establecer la proporción H S = h s H= h•S Podemos, por tanto, establecer la proporción S (sombra) H(altura de la pirámide)

Ejemplos de rectas paralelas cortadas por dos transversales

Teorema de Thales Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales. C B A D E F Si entonces

Algunas relaciones que se pueden establecer: m b b d d p =

Ejemplo 1: Comprobar el teorema de Thales, en la siguiente figura.

l 6cm 6cm 5cm 5cm m 15cm 15cm 18cm 18cm p 1 = = 3

Ejemplo 2:

Considere la siguiente figura, donde las rectas rojas son paralelas. B E C F Según la figura, calcule DF, si AC=18cm, AB=6cm y DE=8cm.

DF 18 18 6 8

= 18 DF 18 6 8

18 = DF 18 6 6 8

18 = 6 DF 18 6 8

18 = 6 DF DF 18 6 8

18 = 6 DF DF 18 6 8

18 = DF 6 8 DF 18 6 8

18 18 = = DF DF 6 6 8 8 . . . = = 144 144 6 6 DF DF ÷ = 24 DF DF 18 6 8

Ejemplo 3:

18 24 36 A D B E C F

18 18 24 36

18 18 24 36 18

18 24 36 = 18

18 24 36 18 =

18 18 24 36 36 18 =

18 18 24 36 36 36 18 =

18 18 24 36 36 18 = 36

18 18 24 24 36 36 36 18 36 =

18 18 24 36 36 18 36 = 24

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24 24 18 ·

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24 = 18 · 24

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24 = 18 · 24 36 ·

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24 = 18 · 24 36 · = 432 36 36 · 432 ÷

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24 = 18 · 24 36 · = 432 36 36 · = 432 ÷ 36

18 18 24 36 36 18 18 36 = 24 = 18 · 24 36 · = 432 36 36 · = 432 ÷ 36 = 12

Ejemplo 4:

Considere el portón de la figura Según la información de la figura, si AC=75cm, CB=50cm y EF=40cm, entonces calcule DF. A D C E B F

Considere el portón de la figura 75 75 50 50 40 40 DE A D C E B F

= A D 75 75 DE DE C E 50 50 40 40 B F

75 75 = = 50 50 DE DE 40 40 · · = · 3000 3000 50 50 DE DE ÷ = A D 75 DE C E 50 40 B F

= = = = = = = = = · · + · + ÷ 75 75 50 50 60 DE DE 40 40 Entonces 75 DF DE EF = · 3000 3000 50 50 DE DE = + DF 60 40 ÷ = 3000 3000 50 50 DE DE = DF 100 A D 75 DE C E 50 40 B F

Ejemplo #5 Doña Rosa tiene un estanque con peces, sus hijos Luis y Marcela controlan el nivel del agua. Cierto día se preguntaron qué longitud de la pendiente estaba cubierta por agua. Tome en cuenta que el nivel del agua es paralelo al fondo del estanque y a la línea punteada..