LA RECTA

DEFINICIONES BÁSICAS ÁNGULO DE INCLINACIÓN: El ángulo de inclinación () de una recta es el ángulo entre la parte positiva del eje x y la recta, medido en sentido antihorario. El ángulo de inclinación es tal que 0. PENDIENTE DE LA RECTA: La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, denotada comúnmente por m. Siendo P1(x1, y1), P2(x2, y2) dos puntos cualesquiera sobre la recta, tales que x1x2, entonces: Observe que: si =/2, m no está definida; este caso corresponde a x1=x2

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA TEOREMA: “A toda recta L del plano está asociada al menos una ecuación de la forma: ax + by + c = 0, en donde a, b y c son números reales; a0 ó b0, y (x,y) representa un punto genérico de L” La Recta es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una ecuación de la forma: Ecuación Cartesiana o Implícita de la Recta L

Ecuación Punto-Pendiente de la Recta ECUACIONES DE LA RECTA Aunque la ecuación de la recta es única, de acuerdo a los datos que se tengan a la mano, puede adoptar varias formas: ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE: Sea P(x, y) un punto cualquiera de la recta, diferente al punto dado P1(x1, y1). De acuerdo a la definición de pendiente: De la cual se obtiene la siguiente ecuación: Ecuación Punto-Pendiente de la Recta

Ecuación Explícita de la Recta ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN: Considere una recta, cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intersección con el eje Y, es b. Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0,b) está sobre la recta. Esto es un caso particular de la ecuación anterior, puesto que tenemos que la recta pasa por (0,b) y tiene pendiente m: Ecuación Explícita de la Recta

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos. Analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos. Reemplazando el punto 1 Primero se deberá hallar la pendiente Reemplazando el punto 2

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA VERTICAL: Si la recta es paralela al eje Y su ecuación es de la forma: Es decir, se trata de una Recta Vertical. ECUACIÓN DE LA RECTA HORIZONTAL: Si la recta es paralela al eje X su ecuación es de la forma:

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA: Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que (vector de dirección), luego es igual a multiplicado por un escalar: r v u X(x,y) P(x1,y1)   Si conocemos un punto P(x1, y1) y un vector de dirección v, La Ecuación vectorial de la recta será:

Ecuaciones Paramétricas de la Recta ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA: A partir de la Ecuación Vectorial y realizando las operaciones indicadas podemos obtener las Ecuaciones Paramétricas de la recta. Por la igualdad de vectores, tenemos: Ecuaciones Paramétricas de la Recta

EJERCICIOS RESUELTOS: 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P1(4,2) y P2(-5,7) Solución: Primero hallamos la pendiente: Luego calculamos el valor de b:  La ecuación de la recta es:

EJERCICIOS RESUELTOS: 2 Escribir la ecuación de la recta: en su forma implícita. Solución: La ecuación de la recta en su forma implícita es: Trabajemos la ecuación dada, sacamos MCM:  La ecuación de la recta en su forma implícita es:

EJERCICIOS RESUELTOS: 3 Calcular el área del triángulo que forma la recta: 3x - 4y – 12 = 0 con los ejes coordenados. Solución: Primero hallamos los puntos de corte con los ejes: Corte con el eje “x” Corte con el eje “y” -3 4 Y X Entonces área del triángulo:  El área del triángulo es:

EJERCICIOS RESUELTOS: 4 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A=(4,8/3) y por la intersección de las rectas: 3x-4y-2=0, 9x-11y-6=0 Solución: Bastará hallar el punto de intersección de las rectas dadas: Entonces el punto de intersección es: (2/3, 0)  Hallando la pendiente m y el valor de b, tenemos:

EJERCICIOS RESUELTOS: 5 Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(-1,3) y tiene un vector de dirección v=(2,5) Solución: Como tenemos un punto y un vector de dirección, entonces la recta es:  Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

RECTAS PARALELAS SI DOS RECTAS SON PARALELAS  SUS PENDIENTES SON IGUALES Y X L1 L2 1 2 Pendientes Iguales

RECTAS PERPENDICULARES SI DOS RECTAS SON PERPENDICULARES  EL PRODUCTO DE SUS PENDIENTES ES -1 Y X L1 L2 1 2 1 180-2 90°

RECTAS PERPENDICULARES DEMOSTRACIÓN: 1 180-2 90° Esto implica: Es decir:

PARA RESOLVER 1.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (-2,3) y (1,-2) 2.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (7,3) y es paralela a la recta que tiene por ecuación 3x+y+1=0 3.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (-2,-1) y es perpendicular a la recta que tiene por ecuación 5x+3y-1=0 4.- Demuestre que la ecuación de la recta que contiene a los puntos (A,0) y (0,B) es: 5.- La recta r : 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s : mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n.

PARA RESOLVER 6.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (0,-3) y (4,6) 7.- Un fontanero cobra 12 soles por ir a domicilio, más el tiempo que trabaja, de forma proporcional, a razón de 10 soles por cada hora. Halla la ecuación que calcula el coste en función del tiempo que tarda en hacer el trabajo. ¿Cuánto tiempo laboró si cobró S/.47.00? 8.- El alquiler de un auto cuesta 20 soles por día y 7 centavos el kilómetro. Supóngase que se alquila el auto por un solo día; escríbase una fórmula para los cargos de alquiler en términos de la distancia recorrida. 9.- Compañías Telefónicas: La compañía A me ofrece una cuota fija de $ 15 al menos más $ 0,05 min. La compañía B me ofrece cobrar sólo por el consumo a $ 0,25 min. La compañía C me ofrece una cuota de $ 0,15 min con un mínimo de $ 15. ¿Qué compañía me conviene si al mes: a) Hablo 50 min. b) Hablo 120 min. c) Hablo más de 150 min.

Presentación realizada por: Información: ECUACIONES DE LA RECTA Presentación realizada por: Julio César Moreno Descalzi Univ. Santo Toribio de Mogrovejo MATEMÁTICA BÁSICA