FUNCIONES

Características de las funciones Dominio de una función Recorrido de una función Simetrías Periodicidad Continuidad Asíntotas Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

FUNCIONES ELEMENTALES Polinómicas Racionales Irracionales Exponenciales Logarítmica Trigonométricas. Funciones definidas a intervalos Operaciones con funciones Suma, resta, multiplicación y división Composición de funciones. Función inversa.

DOMINIO Conjunto de valores tales que existe la función

RECORRIDO Conjunto de valores que toma la función

SIMETRÍA Respecto al eje de ordenadas Función par f(-x) = f(x) Respecto al origen de coordenadas Función impar f(-x) = - f(x)

La gráfica de la función “se repite” PERIODICIDAD La gráfica de la función “se repite” f(x+T) = f(x)

continuidad Decimos que f(x) es continua si la gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. discontinua en x0 = 1 Formalmente f(x) es contª en x0 si Tipos de discontinuidad: evitable si - Salto finito si - Salto infinito si no existe un limite lateral o es ±∞

ASÍNTOTAS Def: Son rectas a las cuales la función se acerca sin llegar a tocar. Pueden ser: - verticales x = b donde b es un valor excluido del dominio Además - horizontales y = a donde - oblicuas y = mx + n donde Asíntota vertical en x= 2 A. Horizontal en y =-3 cuando A. Oblicua en y = mx + n cuando

MONOTONÍA f(x) es creciente en I=(a,b) si Además f’(x) > 0 para cualquier valor del intervalo I. f(x) decrece en I =(a,b) si Además f’(x) < 0 para cualquier valor del intervalo I.

EXTREMOS RELATIVOS Además se cumple f´(x0) = 0 y f´´(x0) > 0 X0 es un máximo relativo si se cumple f(x0) > f(x) Además se cumple f´(x0) = 0 y f´´(x0) < 0 X0 es un mínimo relativo si se cumple f(x0) < f(x) Además se cumple f´(x0) = 0 y f´´(x0) > 0 Un entorno de centro x0 y radio δ es un intervalo

CURVATURA (tomando como referencia el semieje negativo de ordenadas) CONVEXIDAD f(x) es convexa en un punto a si la tangente a la curva en él (punto) queda por debajo de ella (curva). Se cumple que f’’(a) > 0 CONCAVIDAD f(x) es cóncava en un punto b si la tangente a la curva en él (punto) queda por encima de ella (curva). Se cumple que f’’(b) < 0

Puntos de inflexión Son aquellos puntos x0 en los que cambia la curvatura, es decir la segunda derivada cambia de signo. Por tanto, se cumple f’’(x0) = 0 y f’’’(x0) ≠ 0 Además, en estos puntos las recta tangente corta a la gráfica

Función Polinómica Es del tipo f(x) = an xn + an-1 xn-1+ … + a1 x + a0 Su dominio es todo R Su recorrido es todo R si n impar es [k,+∞) si n par y an > 0 es (-∞,k] si n par y an < 0 Es continua

Función racional Es del tipo . Dom f(x) = Estudiamos cuando gr P(x) = gr Q(x) = 1. Dividimos y expresamos La gráfica es una hipérbola: Asíntota vertical x = a Asíntota horizontal y = b Creciente si k < 0 decreciente si k > 0

FUNCIÓN IRRACIONAL Es del tipo Dom f(x) = R si n impar Dom f(x) = si n par

Función exponencial Es del tipo f(x) = ax con a > 0 Su dominio es R Su recorrido es (0,+∞) Pasa por el punto (0,1) Es continua Asíntota horizontal y = 0 Es creciente si a > 1 Es decreciente si 0 < a < 1 Es cóncava siempre Conoce y traslada

Función logarítmica Es del tipo f(x) = loga x con a > 0 Su dominio es (0,+∞) Su recorrido es todo R Pasa por el punto (1,0) Es continua Asíntota vertical x = 0 Es creciente y convexa si a > 1 Es decreciente y cóncava si 0 < a < 1

Funciones trigonométricas f(x) = v + K·sen a(x-h) Desplazamiento horizontal h unidades a la derecha Desplazamiento vertical de v unidades K modifica la amplitud de la onda y a la longitud de la onda. Ahora tú: juega con f(x) = v + K·sen a(x-h)

FUNCIONES DEFINIDAS A INTERVALOS Varía la expresión algebraica de la función según el dominio de definición f(x) = 𝑓 1 (𝑥),𝑥∈ 𝐼 1 ………….. 𝑓 𝑛 (𝑥),𝑥∈ 𝐼 𝑛 Representa en wiris tu propia función. Si tienes dudas http://www.infoymate.es/wiris/2d/2d.htm Algunos ejemplos

OPERACIONES CON FUNCIONES Se cumple (f±g)(x) = f(x) ± g(x) También (f·g)(x) = f(x)·g(x) y (f/g)(x) = f(x)/g(x) Composición (f◦g)(x) = f(g(x)) No cumple la propiedad conmutativa, es decir, (f◦g)(x) ≠ (g◦f)(x) Función inversa: dada f(x), la inversa cumple que la composición de ambas en la función identidad (f◦f-1)(x) = (f-1 ◦f)(x) = i(x) = x Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.