FP: FORMAS DE SEGUNDO ORDEN Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Series de segundo orden Los puntos comunes a dos haces coplanarios de rectas, proyectivos entre sí, determinan una serie de puntos de segundo orden de base una curva denominada cónica proyectiva puntual. V2 V1 c1 C c2 A B a1 b1 a2 b2

Haces de segundo orden Las rectas comunes a dos series coplanarios de rectas, proyectivos entre sí, determinan un haz de rectas de segundo orden de base una curva denominada cónica proyectiva tangencial. B1 C1 A1 r c a s b A2 C2 B2

CIRCUNFERENCIA COMO SERIE DE SEGUNDO ORDEN Al proyectar desde cualquier par de puntos V1 y V2 de una circunferencia los puntos de la misma, se obtienen dos haces congruentes, y por lo tanto proyectivos V1 V2 a2 b2 c2 d2 a1 b1 c1 d1 A B C D (ABCD)=(a1b1c1d1)=(a2b2c2d2)

Centro proyectivo El centro proyectivo de dos haces congruentes se encuentra en la intersección de las tangentes en los vértices V1 y V2 a la circunferencia determinada por los puntos A, B, C... de intersección de cada par de rectas homólogas V1 V2 a2 b2 c2 d2 a1 b1 c1 d1 A B C D El segmento AB se observa desde cualquier punto de la circunferencia bajo un mismo ángulo. Igualmente el resto de segmentos BC, CD... Los haces son congruentes al ser iguales los respectivos ángulos entre rectas homólogas La razón doble entre cuatro rectas homólogas se conserva, por lo que son proyectivos dichos haces .

Series de primer orden y de segundo Se pueden relacionar los elementos de una serie (ABC...) de primer orden y una serie de segundo orden mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia V A B C A2 B2 C2 L2 (ABCD)=(A1 B1 C1 D1) L

FP_6P_01 Series de segundo orden Determinar otros dos puntos R y S, de la serie (ABC...) de segundo orden, que se encuentren sobre las rectas r y s respectivamente. Enunciar el problema dual s r a b V1 A B V2 C c

FP_6P_02 Series de segundo orden Una cónica está determinada por cinco puntos A, B, C, D y E. Determinar el punto I de salida de una recta r que parte del punto D. . Enunciar el problema dual r E A B D C

FP_6P_03 Series de segundo orden Una cónica está determinada por cinco puntos A, B, C, D y E. Determinar la tangente en el punto D. Enunciar el problema dual E A B D C

FP_6P_04 Series de segundo orden Una cónica está determinada por cuatro puntos B, C, D y E y la tangente t en uno de ellos. Determinar la tangente en el punto E . Enunciar el problema dual E B t D C