CP: EJE RADICAL CP_5 Prof. José Juan Aliaga Maraver.

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1 CP: EJE RADICAL CP_5 Prof. José Juan Aliaga Maraver

2 Lugar Geométrico de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos
b2 = h2 + ( a/2 – MH )2 c2 = h2 + ( a/2 + MH )2 c b m h m2 = h2 + MH2 M H C B a/2 a b2 + c2 = 2h2 + a2/2 + 2MH2 = a2/2 +2m2 b2 - c2 = - 2aMH

3 Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.
”El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos B y C es una cantidad constante k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al punto medio de BC es d=K/2BC.” A dB2=k+dc2 dc m h M H C B d=k/2a a Aplicación-.Ejes radical ,diametral y ortodiametral.

4 Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.
b2 - c2 = - 2aMH = cte Al ser fija la distancia entre los puntos, “a” es constante A Para que la igualdad sea constante la distancia “MH” tiene que serlo también c b “MH” es la proyección de la mediana sobre “BC” m h M H C B a/2 a para que la proyección de la mediana sobre “BC” permanezca constante, el punto “A” tiene que moverse sobre la recta “h”

5 Eje radical El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias ortogonales a dichas circunferencias que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias desde los cuales se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias

6 Circunferencias ortogonales a dos dadas
“El lugar geométrico de los centros Co de todas las circunferencias co ortogonales a c1 y c2 son los puntos del eje radical e exterior a c1 y c2.” R R d12 = 12+R2 d1 d22 = 22+R2 d2 1 2 d12 - d12 = 12-  22 = cte Eje radical

7 Centro radical de tres circunferencias
El Centro radical CR de tres circunferencias coplanarias es un punto de su plano: es intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias tiene igual potencia respecto a dichas circunferencias es centro de la circunferencia ortogonal a dichas circunferencias desde el cual se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las tres circunferencias

8 Determinación del eje radical
Dirección perpendicular a la recta base de los centros Potencia nula

9 Determinación del eje radical
Dirección perpendicular a la recta base de los centros CR Circunferencia auxiliar

10 Circunferencias ortogonales a tres dadas: Centro radical
CR 1 2

11 Casos singulares Eje radical de dos puntos
Eje radical de punto y circunferencia Eje radical de punto y recta ? Eje radical de circunferencia y recta ? Eje radical de dos rectas ?

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13 CP_5P_01 Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Trazar la circunferencia ortogonal a c1, c2 y c3. Analizar diferentes modelos de solución y de datos

14 CP_5P_02 Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Trazar las circunferencias de centros A, B y C y la condición de que sean tangentes dos a dos exteriormente. A B C

15 CP_5P_03 Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Dados los puntos A, B y C, trazar tres circunferencia tangentes dos a dos con puntos de tangencia en dichos puntos A B C

16 CP_5P_04 Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Dadas tres circunferencias c1, c2 y c3 y tres puntos A1, A2 y A3, hallar una circunferencia c de forma que los ejes radicales de la circunferencia c con las c1, c2 y c3 pasen, respectivamente por los A1, A2 y A3. c2 A1 c1 c3 A3 A2

17 CP_5P_05 Circunferencias ortogonales a dos dadas
Determinar la parte circular del eje de la pista de rodadura que por condiciones de terreno ha de ser tangente a la recta a, pasar por el punto P y ser ortogonal a la circunferencia c1. c1 c1 a P P a

18 CP_5P_06 Circunferencias ortogonales a dos dadas
Determinar la circunferencia ortogonal a c y que pase por los puntos A1 y A2. c A1 A2