Una guía para resolver problemas con la fórmula de Taylor

Índice Introducción Cálculo del polinomio de Taylor Hallar f(x0) utilizando el polinomio de Taylor Acotar el error en el polinomio de Taylor Cálculo del polinomio, sabiendo el error SALIR

Introducción Dada una función f(x) más o menos complicada (logarítmica, exponencial, …), sin embargo, se conoce el valor de la función y de sus derivadas en ciertos puntos. Se pretende obtener una aproximación de la función f(x) mediante una sucesión de polinomios de la forma: Tn[f(x),0] = a0 + a1· x + a2· x2 + … + an · xn (MacLaurin) En general para x = a (Taylor) Tn[f(x),a] = a0 + a1· (x-a) + a2· (x-a)2 + … + an · (x-a)n

Cálculo del polinomio de Taylor Enunciado: Dada la función f(x). Calcular el polinomio de Taylor de grado n en el punto x = a. ? Ejemplo

2. Aplicación del polinomio de Taylor ( I ) Enunciado: Aproximar f(x0) tomando el polinomio de Taylor de grado n en el punto x = a. ? Ejemplo

2. Aplicación del polinomio de Taylor (II) Enunciado: conociendo la función f(x), aproximar una constante tomando el polinomio de Taylor de grado n de la función f(x). Procedimiento: 1. Calcular el polinomio de Taylor de grado n de la función f(x). 2. Igualar la función f(expresión en función de x) con la constante, es decir, expresión en función de x = constante se despeja x el valor obtenido le llamamos x0. 3. Sustituir la x0 en el polinomio de Taylor del paso 1. Ejemplo

3. Acotar el error en el polinomio de Taylor Enunciado: una vez calculada la aproximación de f(x0). Calcular el error cometido. ? Ejemplo Procedimiento para acotar el error cometido: En la fórmula del resto se sustituye x por x0 Estudiar f n+1) (c) en el intervalo [a, x0] (ó [x0, a]), calculando su máximo, en valor absoluto. Si f n+1) es una función acotada en un entorno de a (por ejemplo, si es continua)

3. Acotar el error en el polinomio de Taylor Ejemplo

4. Cálculo del polinomio, sabiendo el error Enunciado: calcular el grado del polinomio de Taylor cuando se conoce la aproximación de una constante con un error menor que ε. ? Ejemplo

2. Aplicación del polinomio de Taylor con Derive ( I ) Enunciado: Aproximar f(x0) tomando el polinomio de Taylor de grado n en el punto x = a. Procedimiento Calcular el polinomio de Taylor de grado n en x = a. Es decir: TAYLOR(f(x) , x, 0, n) . Seleccionar el polinomio de Taylor (calculado en el paso anterior) dar clic a “SUB” y escribir el valor dado. Ejemplo

2. Aplicación del polinomio de Taylor (II), utilizando Derive Enunciado: conociendo la función f(x), aproximar una constante tomando el polinomio de Taylor de grado n de la función f(x) Procedimiento: 1. Calcular el polinomio de Taylor de grado n de la función f(x). TAYLOR(f(x), x, a, n) = 2. f(expresión en función de x) = constante introducir en Derive: expresión en x = constante. Dar “clic” al icono “lupa (resolver ecuación)”, se obtiene x0. 3. Seleccionar el polinomio de Taylor, dar “clic” al icono SUB, escribir x0 y se termina dando “clic” al icono aproximación ( ).

3. Acotar el error en el polinomio de Taylor. Utilizando Derive Una vez calculado el polinomio de aproximación, acotar el error cometido en dicha aproximación. Si el polinomio de aproximación es de grado n, el error buscado será de orden n, es decir: E = Siendo “x” el valor concreto que hemos aproximado el polinomio, es decir x0. “a” el valor dado por Taylor, esto es la única variable es c, tal que c ( a, x0) ó c (x0, a) Lo que tenemos que acotar es fn+1(c) para ello se dará los pasos siguientes: Representar ABS(fn+1)(c)), aquí podemos saber si el máximo que buscamos se encuentra en los extremos o en medio del intervalo [a, x]. Si está en los extremos ya podemos saber su valor es decir la cota que buscamos. Sigue

Ejemplo 3. Acotar el error en el polinomio de Taylor. Utilizando Derive (continuación) Si no se encuentra en los extremos, o bien nos fijamos en la gráfica y le damos un valor aproximado donde se observa que se encuentra el máximo o bien se calcula la derivada siguiente (es decir, la derivada n+2) se iguala a cero, se toma el valor que hace cero y que se encuentre en nuestro intervalo (a, x0). A continuación se sustituye dicho valor en la derivada n+1, dicho valor será la cota que buscamos. Para representar la función f n+1)(c) en (a, x0) en Derive escribimos: IF(a<c<x0, ABS(f n+1) (c))) nos dibuja la derivada en el entorno del punto que se quiere. Ejemplo

4. Cálculo del polinomio, sabiendo el error con Derive Calcular el grado del polinomio de aproximación conociendo el error. Para ello escribimos: 1. VECTOR(ABS(∂(LN(x + 1), x, n)), n, 2, 10) para obtener conjuntamente las derivadas de órdenes 2 a 10 de f(x) y a partir de ellas f n)(x). 2. Hallamos sus máximos (o una cota superior) Mi de f n+1)(c) en a<c<x desde i=2 hasta i=10. Este apartado se estudiará (cuando no sea posible calcular la derivada n-ésima) utilizando representaciones gráficas o bien estudiando los máximos de cada una de las funciones f n+1)(c) en a<c<x . 3. ABS(Mi(x-a)^(n+1)/(n+1)!)< error dado. Es decir, la expresión del error con la cota M obtenida. El primer valor de n que lo cumpla es el grado del polinomio buscado. Ejemplo

1. Ejemplo del cálculo del polinomio de Taylor Enunciado: ?

? 2. Ejemplo de hallar f(x0) utilizando el polinomio de Maclaurin Enunciado: Solución Se conoce la función f(x) = arctg(x) . Se calcula el polinomio de Maclaurin de grado 3 (ver diapositiva anterior) f(x) ? En el polinomio de Maclaurin se sustituye x por 0.1. Es decir

2. Ejemplo de hallar f(x0) utilizando el polinomio de Maclaurin. Utilizando Derive. Enunciado: Calcular el valor aproximado de arctg(0.1), utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 3 correspondiente a la función f(x) = arctg (x). Procedimiento: Cálculo del polinomio: Se selecciona el polinomio de Taylor , a continuación dar “clic” al icono SUB, escribimos 0.1 y terminamos dando “clic” al icono aproximación. Es decir:

2. Ejemplo de la aplicación del polinomio de Taylor (II) 2. Ejemplo de la aplicación del polinomio de Taylor (II). Utilizando Derive Enunciado: Hallar una aproximación del valor numérico de ln2, utilizando el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función f(x) = ln(1+x). Solución. Cálculo del polinomio de MacLaurin: Escribimos en Derive: TAYLOR(LN(1+x),x,0,5)= Aparecerá: Igualamos 1 + x = 2. En este caso es tan trivial despejar x que no se utiliza Derive. Luego x = 2 – 1 = 1 x0= 1. Sustituimos x0 = 1, en el polinomio de Maclaurin del paso primero. Utilizando Derive nos da:

3. Ejemplo de acotar el error en el polinomio de Taylor Enunciado: ? Gráfica de f iv(c) Índice

3. Ejemplo de acotar el error en el polinomio de Taylor con Derive Enunciado: Gráfica de f iv(c) Error<

4. Ejemplo del polinomio de Taylor conociendo el error Enunciado ?

Ejemplo del polinomio de Maclaurin conociendo el error con DERIVE Enunciado: dada la función f(x) = ln(1+x). Calcular el grado del polinomio mínimo de Maclaurin necesario para obtener un valor de ln(1.1) con un error menor que 10-4. Solución con Derive: 1. VECTOR(ABS(∂(LN(x + 1), x, n)), n, 2, 6) para obtener conjuntamente las derivadas de órdenes 2 a 6 de f(x) y a partir de ellas f n)(x).

Ejemplo del polinomio de Maclaurin conociendo el error 2. Cálculo de x: ln(x+1) = ln(1.1) Luego: Hallamos sus máximos (o una cota superior) Mi de f n+1)(c) en: a = 0 <c < 0.1 =x desde i = 2 hasta i = 6. Observamos que las funciones calculadas en el apartado anterior (recuadradas en azul), en el intervalo [0, 0.1], alcanzan su valor máximo en c =0, ya que si aumentamos el denominador disminuye el valor de la fracción.

Ejemplo del polinomio de Maclaurin conociendo el error 3. Cálculo del error Definición de Error: En nuestro ejemplo: x = 0.1 a = 0

Ejemplo del polinomio de Maclaurin conociendo el error Introducimos la definición de Error en Derive: Observamos que el máximo se obtiene para c=0. Sustituyéndolo y haciendo clic en “aproximar” <10-4 El error es menor que 10-4 a partir de n = 3